Considere o sistema com realimentação unitária, cuja FTMA é:
Este sistema opera com uma fração de amortecimento de 0,6 e uma constante de erro estático
.
a) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária; (
)
b) Projete um compensador por atraso de fase que melhore o erro em RP de um fator de 20, preservando o sobressinal do sistema original. Considere que o pólo do compensador está em -0,01;
c) Avalie o módulo e a fase do compensador e diga se a contribuição do compensador modificará de forma apreciável a posição dos pólos dominantes;
d) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária. Considere que o sobressinal foi preservado e que o sistema compensado opera com ts=1,1396s;
e) Calcule o erro em RP para uma entrada do tipo rampa unitária para o sistema compensado e compare com o sistema não compensado.
a) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária; (
b) Projete um compensador por atraso de fase que melhore o erro em RP de um fator de 20, preservando o sobressinal do sistema original. Considere que o pólo do compensador está em -0,01;
c) Avalie o módulo e a fase do compensador e diga se a contribuição do compensador modificará de forma apreciável a posição dos pólos dominantes;
d) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária. Considere que o sobressinal foi preservado e que o sistema compensado opera com ts=1,1396s;
e) Calcule o erro em RP para uma entrada do tipo rampa unitária para o sistema compensado e compare com o sistema não compensado.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de malha fechada com FTMA
e realimentação unitária. Ele opera com fração de amortecimento
e constante de erro de velocidade
. Pede-se na parte (a) o valor do ganho
, as raízes do laço fechado e o erro para rampa unitária. Nas partes seguintes iremos projetar um compensador por atraso de fase que aumente o erro em regime permanente (rampa) em um fator
, preservando o sobressinal (logo
e o lugar dos polos dominantes) e analisaremos seus efeitos.
Passo 2
Para a parte (a) usamos a definição
Como
, segue
O polinômio característico em malha fechada é
isto é
Resolvendo numericamente esta cúbica, obtemos uma raiz real
e um par complexo conjugado
cuja frequência natural é
e amortecimento
. O erro em regime permanente para rampa unitária vale
Passo 3
Na parte (b) queremos um compensador por atraso de fase que aumente
em
vezes, sem alterar
nem o sobressinal. Assim o ganho de baixas frequências do compensador deve ser
Escolhendo o pólo em
(ou seja
), fazemos
com
. Logo
Passo 4
Na parte (c) avaliamos o efeito dinâmico do compensador na frequência dos polos dominantes,
. Compute-mos
e a fase
Como a magnitude é quase
e a defasagem muito pequena, o compensador não desloca de modo apreciável os polos dominantes.
Passo 5
Na parte (d) o sistema compensado continua com
e, por projeto, o tempo de acomodação do par dominante é
logo os polos dominantes ficam
Os demais polos reais aproximam-se dos valores originais em
e em
(pólo do compensador). O novo constante de erro de velocidade é
e o erro em rampa
Passo 6
Na parte (e) comparamos os erros em regime permanente para rampa unitária:
mostrando uma melhora de
vezes no erro em regime permanente.
Resposta
(a)
, raízes em
e
,
.
(b) .
(c) ,
, sem efeito apreciável nos polos dominantes.
(d) , polos dominantes
, demais em
e
,
.
(e) ,
(melhora de
).
(b)
(c)
(d)
(e)