Considere o sistema com realimentação unitária, cuja FTMA é:
G(s)=410 Ks(s+10)(s+20)
Este sistema opera com uma fração de amortecimento de 0,6 e uma constante de erro estático Kv=4,1.
a) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária; ( K sim 2 )
b) Projete um compensador por atraso de fase que melhore o erro em RP de um fator de 20, preservando o sobressinal do sistema original. Considere que o pólo do compensador está em -0,01;
c) Avalie o módulo e a fase do compensador e diga se a contribuição do compensador modificará de forma apreciável a posição dos pólos dominantes;
d) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária. Considere que o sobressinal foi preservado e que o sistema compensado opera com ts=1,1396s;
e) Calcule o erro em RP para uma entrada do tipo rampa unitária para o sistema compensado e compare com o sistema não compensado.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de malha fechada com FTMA
G(s)=410,Ks,(s+10),(s+20)
e realimentação unitária. Ele opera com fração de amortecimento zeta=0,6 e constante de erro de velocidade Kv=4,1. Pede-se na parte (a) o valor do ganho K, as raízes do laço fechado e o erro para rampa unitária. Nas partes seguintes iremos projetar um compensador por atraso de fase que aumente o erro em regime permanente (rampa) em um fator 20, preservando o sobressinal (logo zeta e o lugar dos polos dominantes) e analisaremos seus efeitos.

Passo 2

Para a parte (a) usamos a definição
Kv=limsto0s,G(s) =limsto0s;410,Ks(s+10)(s+20) =410,K10cdot20 =410200,K=2,05,K
Como Kv=4,1, segue
2,05,K=4,1 Longrightarrow K=2
O polinômio característico em malha fechada é
1+G(s)=0 Longrightarrow s(s+10)(s+20)+410,K=0,
isto é
s^3+30,s^2+200,s+410cdot2=0 Longrightarrow s^3+30,s^2+200,s+820=0
Resolvendo numericamente esta cúbica, obtemos uma raiz real
s3approx-22,83
e um par complexo conjugado
s1,2approx -3,585pm j,4,846,
cuja frequência natural é omeganapprox6,03 e amortecimento zetaapprox0,595approx0,6. O erro em regime permanente para rampa unitária vale
einfty =1Kv =14,1 approx0,244

Passo 3

Na parte (b) queremos um compensador por atraso de fase que aumente Kv em 20 vezes, sem alterar K=2 nem o sobressinal. Assim o ganho de baixas frequências do compensador deve ser
C(0)=20
Escolhendo o pólo em -0,01 (ou seja p=0,01), fazemos
C(s)=s+zs+0,01,
com z/p=20Rightarrow z=0,2. Logo
boxedC(s)=s+0,2s+0,01

Passo 4

Na parte (c) avaliamos o efeito dinâmico do compensador na frequência dos polos dominantes, omegad=omeganraiz1-zeta^2approx4,846. Compute-mos
|C(jomegad)| =raiz(0,2)^2+(4,846)^2raiz(0,01)^2+(4,846)^2 approx1,0008approx0;dB,
e a fase
arg C(jomegad) =tan^-1!4,8460,2 -tan^-1!4,8460,01 approx87,6^circ-89,9^circ approx-2,3^circ
Como a magnitude é quase 1 e a defasagem muito pequena, o compensador não desloca de modo apreciável os polos dominantes.

Passo 5

Na parte (d) o sistema compensado continua com K=2 e, por projeto, o tempo de acomodação do par dominante é
tsapprox1,1396;s Longrightarrow omegan=4zeta,ts =40,6cdot1,1396approx5,85,
logo os polos dominantes ficam
s1,2=-zetaomeganpm j,omeganraiz1-zeta^2 approx -3,51pm j,4,68
Os demais polos reais aproximam-se dos valores originais em -22,8 e em -0,01 (pólo do compensador). O novo constante de erro de velocidade é
Kv,new=20cdot4,1=82
e o erro em rampa
einfty,comp =1Kv,new =182 approx0,0122

Passo 6

Na parte (e) comparamos os erros em regime permanente para rampa unitária:
einfty,orig=0,244, einfty,comp=0,0122,
mostrando uma melhora de 20 vezes no erro em regime permanente.

Resposta

(a) K=2, raízes em sapprox-22,83 e sapprox-3,585pm j4,846, einfty=0,244.
(b) C(s)=tfracs+0,2s+0,01.
(c) |C(jomegad)|approx1, arg Capprox-2,3^circ, sem efeito apreciável nos polos dominantes.
(d) K=2, polos dominantes sapprox-3,51pm j4,68, demais em -22,8 e -0,01, einfty=0,0122.
(e) einfty,orig=0,244, einfty,comp=0,0122 (melhora de 20times).

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