Considere o sistema com realimentação unitária, cuja FTMA é:
G(s)=Ks(s+10)
Este sistema opera com um sobressinal de 18%. A partir dessas informações, pede-se:
a) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária; (K~108,91)
b) Projete um compensador por atraso de fase que melhore o erro em RP de um fator de 10. Considere que o pólo do compensador está em -0,01.
c) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária. Considere que o sobressinal foi preservado e que o sistema compensado opera com ts =0.8080 s;
d) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária e compare com o sistema não compensado. (K~107,78).

Passo 1

O enunciado dá o laço-unitário com função de transição em malha aberta
G(s)=Ks,(s+10),
e informa que o sistema em malha-fechada tem sobressinal de 18 %. Vamos trabalhar com o modelo padrão de segunda ordem
omegan^2s^2+2zetaomegan s+omegan^2
para extrair o coeficiente de amortecimento zeta, o ganho K que garanta esse sobressinal, as raízes do polinômio característico fechado e, finalmente, o erro em regime permanente para rampa unitária.

Passo 2

A porcentagem de sobressinal ,Mp=0,18 está relacionada a zeta por
Mp=e^-zetapi/raiz1-zeta^2
Resolvendo numericamente
zeta = -ln(0,18)raizpi^2+[ln(0,18)]^2 approx 0,4791

Passo 3

Em malha fechada, o característico é
s^2+10,s+K=0
Comparando com s^2+2zetaomegan s+omegan^2=0, temos
omegan^2=K e 2zetaomegan=10, logo
zetaomegan=5 Longrightarrow omegan=5zetaapprox50,4791approx10,438,
K=omegan^2approx(10,438)^2approx108,91

Passo 4

As raízes fechadas são
s1,2=-zetaomeganpm j,omeganraiz1-zeta^2 approx -5pm j,9,17

Passo 5

O erro em regime permanente para rampa unitária é
Kv=limsto0s,G(s)=limsto0Ks+10=K10approx108,9110=10,891,
erm ss=1Kvapprox0,0918

Passo 6

Para reduzir o erro em rampa em fator 10, queremos Kv^rm novo=10,Kv. Num compensador de atraso de fase
Gc(s)=s+zs+p,
a baixa frequência aumenta o ganho em z/p. Para ganho estático z/p=10 e polo em -0,01, escolhe-se
p=-0,01, z=-0,1,
Gc(s)=s+0,1s+0,01

Passo 7

No sistema compensado, mantemos o mesmo zeta e agora deseja-se tempo de acomodação ts=0,8080 s com critério de 2 % dado por
tsapprox4zeta,omegan
Então
omegan=4zeta,ts =40,4791times0,8080approx10,33,
Krm novo=omegan^2approx(10,33)^2approx106,7;(aprox)

Passo 8

Os polos fechados compensados são
s1,2=-zetaomeganpm j,omeganraiz1-zeta^2 approx -4,95pm j,9,07

Passo 9

O novo ganho de rampa
Kv^rm novo=limsto0s,Krm novo,s+0,1s+0,01,1s(s+10) =Krm novo,
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erm ss^rm novo=1Krm novoapprox1106,7approx0,00937

Passo 10

Comparando:
sem compensação Kapprox108,91, polos -5pm j9,17, erm ssapprox0,0918;
com compensação Kapprox106,7, polos -4,95pm j9,07, erm ssapprox0,00937.
A compensação manteve o mesmo amortecimento ( Mp=18%) com leve aumento de ts, reduziu o erro em rampa em cerca de 10times e alterou pouquíssimo os polos.

Resposta

Krm novoapprox106,7; polos em sapprox -4,95pm j,9,07; erro em rampa erm ssapprox0,00937.

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