Considere o sistema com realimentação unitária, cuja FTMA é:
G(s)=16 Ks(s+4)
Este sistema opera com MP=10 %.
a) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária; ( K sim 0,7154 )
b) Projete um compensador que proporcione uma melhora no erro em RP de 10 , sem modificação apreciável dos pólos dominantes de malha fechada. Considere que o pólo do compensador está em - 0,02 ;
c) Avalie o módulo e a fase do compensador e diga se a contribuição do compensador modificará de forma apreciável a posição dos pólos dominantes;
d) Determine o ganho, as raízes do sistema e o erro em RP para uma entrada rampa unitária. Considere que o sobressinal foi preservado e que o sistema compensado opera com wn=3,22rad/s;
e) Calcule os pólos do sistema compensado e compare com os do sistema não compensado.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de malha fechada com realimentação unitária e FTMA
G(s)=16,Ks(s+4),
operando com sobre­sinal máximo MP=10%. Vamos usar:
– a relação entre MP e o fator de amortecimento zeta;
– o modelo aproximado de segunda ordem ,s^2+2zetaomegan s+omegan^2=0;
– o erro em regime permanente para rampa, dado por ess=1Kv, com
Kv=limsto0s,G(s)
Nas alíneas b–e vamos projetar um compensador do tipo atraso de primeira ordem para aumentar Kv em 10times sem alterar muito os pólos dominantes.

Passo 2

Para MP=10% vale
MP=e^-zetapiraiz1-zeta^2=0,10
resolvendo dá zetaapprox0,591. A função característica em malha fechada é
1+G(s)=0;Longrightarrow;s^2+4s+16K=0,
que deve bater com
s^2+2zetaomegan s+omegan^2=0
Igualando coeficientes:
2zetaomegan=4Longrightarrowomegan=42zeta=42cdot0,591approx3,383,
omegan^2=16KLongrightarrow K=omegan^216=(3,383)^216approx0,7154
Os polos dominantes são
s1,2=-zetaomeganpm jomeganraiz1-zeta^2approx -2pm j2,70

Passo 3

O ganho de tipo 1 é
Kv=limsto0s,G(s)=limsto016Ks+4=16K4=4Kapprox4cdot0,7154=2,8616,
então o erro para rampa unitária é
ess=1Kvapprox12,8616approx0,349

Passo 4

Para reduzir ess por 10times precisamos aumentar Kv 10times, isto é Kv'!=10,Kv. Adotando um compensador do tipo
C(s)=s+zs+p, p=0,02,
temos
Kv'=limsto0s,C(s),G(s)=C(0),Kv=zp,Kv=10,Kv ;Longrightarrow; zp=10 ;Longrightarrow; z=10,p=0,2
Logo o compensador é
boxedC(s)=s+0,,2s+0,,02

Passo 5

Avaliaremos C(jomega) em omega=omeganapprox3,383.
|C(jomegan)|=raizomegan^2+0,2^2raizomegan^2+0,02^2 approxraiz11,45+0,04raiz11,45+0,0004 approx3,3903,384approx1,002,
ang<= C(jomegan)=arctanomegan0,2-arctanomegan0,02 approx86,6^circ-89,6^circapprox-3^circ
Como o ganho e a fase são quase 1 e – 3circ, o compensador não desloca muito os pólos dominantes.

Passo 6

No sistema compensado mantemos zeta e agora fixam omegan=3,22,rad/s. Igualando omegan^2=16Krm new obtemos
Krm new=(3,22)^216approx0,648
Os polos dominantes ficam
s1,2=-zetaomeganpm jomeganraiz1-zeta^2approx -1,903pm j2,635
O novo Kv' vale
Kv'=10,(4Krm new)=40,Krm newapprox40cdot0,648=25,92,
e o erro para rampa unitária
ess'=1Kv'approx125,92approx0,0386

Passo 7

A equação característica do sistema compensado é
1+C(s)G(s)=0 ;Longrightarrow; s(s+4)(s+0,02)+16Krm new(s+0,2)=0,
ou seja
s^3+4,02,s^2+10,448,s+2,0736=0
Suas raízes aproximadas são
s1,2approx -1,903pm j2,635, s3approx -0,218
Comparando com os polos não compensados (-2pm j2,70), vemos que os dominantes praticamente não mudaram, e o terceiro polo extra está bem separado.

Resposta

a) Kapprox0,7154, polos sapprox-2pm j2,70, erro rampa essapprox0,349.
b) C(s)=dfracs+0,2s+0,02.
c) |C(jomegan)|approx1,002, ang<= C(jomegan)approx-3^circ; efeito desprezível nos polos dominantes.
d) Krm newapprox0,648, polos dominantes sapprox-1,903pm j2,635, erro rampa e'ssapprox0,0386.
e) Polos compensados: -1,903pm j2,635 e -0,218; dominantes quase iguais aos originais.

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