Considere o sistema com realimentação unitária, cuja FTMA é:
Sabendo que sistema opera com uma fração de amortecimento de 0.5, pede-se:
a) Apresente o LGR (Matlab) do sistema sem compensador;
b) Determine o ponto de operação do sistema;
c) Determine o valor de K correspondente;
d) Avalie se a aproximação por um sistema de segunda ordem é válida;
e) Determine
e Ts;
f) Projete um controlador PI que reduza a zero o erro da resposta ao degrau. Na formulação do compensador, utilize um pólo na origem e um zero em -0,5. Mantenha o mesmo sobressinal do sistema original;
g) Apresente o LGR (Matlab) do sistema com compensador;
h) Determine o ponto de operação do sistema;
i) Determine o valor de K correspondente;
j) Avalie se a aproximação por um sistema de segunda ordem é válida;
k) Determine
e Ts;
l) Compare os valores obtidos em (e) e (k);
m) Avalie a qualidade da aproximação por um sistema de segunda ordem.
n) Compare a resposta ao degrau do sistema compensado e do sistema não compensado.
Utilize o código do Matlab abaixo para construir o LGR e determinar o ponto de operação do sistema sem o compensador. Modificar o código e proceder da mesma forma para o sistema com o compensador.
%sistema não compensado
numg= [K]
deng=poly([-1-3-10])
G=tf(numg,deng)
%resposta ao degrau
numh=[1]
%sistema não compensado
denh=1
K=1 %colocar o valor de K calculado em (c)
H=tf(numh,denh) %Realimentação unitária
numg= [K]
%FTMA
deng=poly([-1-3-10])
rlocus(GH) ; %LGR
G=tf(numg,deng)
zeta=0.5
numh=[1]
sgrid(zeta,0)
denh=1
[K,p]=rlocfind(G)
H=tf(numh,denh) %Realimentação unitária
%Ampliar o local de interesse e clicar com o mouse no ponto de operação
GH=G*H %FTMA
FTMF=feedback(G,H)
%0 ponto será exibido no espaço de trabalho
step(FTMF)
% Armazenado em K e p
%sistema compensado
denh=1
numg= [1];
H=tf(numh,denh)
deng=poly([-1-3-10])
G=tf(numg,deng)
GGcH=GGcH rlocus(GGcH)
numgc= [10.5]
zeta=0.5
dengc=[10]
sgrid(zeta,0)
Gc=tf(numgc,dengc)
[K,p]=rlocfind(GGcH)
numh=[1]
a) Apresente o LGR (Matlab) do sistema sem compensador;
b) Determine o ponto de operação do sistema;
c) Determine o valor de K correspondente;
d) Avalie se a aproximação por um sistema de segunda ordem é válida;
e) Determine
f) Projete um controlador PI que reduza a zero o erro da resposta ao degrau. Na formulação do compensador, utilize um pólo na origem e um zero em -0,5. Mantenha o mesmo sobressinal do sistema original;
g) Apresente o LGR (Matlab) do sistema com compensador;
h) Determine o ponto de operação do sistema;
i) Determine o valor de K correspondente;
j) Avalie se a aproximação por um sistema de segunda ordem é válida;
k) Determine
l) Compare os valores obtidos em (e) e (k);
m) Avalie a qualidade da aproximação por um sistema de segunda ordem.
n) Compare a resposta ao degrau do sistema compensado e do sistema não compensado.
%sistema não compensado | |||
|
|||
|
|||
G=tf(numg,deng) | %resposta ao degrau | ||
numh=[1] | %sistema não compensado | ||
denh=1 | K=1 %colocar o valor de K calculado em (c) | ||
H=tf(numh,denh) %Realimentação unitária | numg= [K] | ||
|
deng=poly([-1-3-10]) | ||
rlocus(GH) ; %LGR | G=tf(numg,deng) | ||
zeta=0.5 | numh=[1] | ||
sgrid(zeta,0) | denh=1 | ||
[K,p]=rlocfind(G) | H=tf(numh,denh) %Realimentação unitária | ||
%Ampliar o local de interesse e clicar com o mouse no ponto de operação | GH=G*H %FTMA | ||
FTMF=feedback(G,H) | |||
%0 ponto será exibido no espaço de trabalho | step(FTMF) | ||
% Armazenado em K e p | |||
%sistema compensado | denh=1 | ||
numg= [1]; | H=tf(numh,denh) | ||
deng=poly([-1-3-10]) | |||
G=tf(numg,deng) | GGcH=GGcH rlocus(GGcH) | ||
numgc= [10.5] | zeta=0.5 | ||
dengc=[10] | sgrid(zeta,0) | ||
Gc=tf(numgc,dengc) | [K,p]=rlocfind(GGcH) | ||
numh=[1] |
Passo 1
O enunciado trata de um sistema de malha fechada com realimentação unitária cuja FTMA em código aberto é
Queremos, inicialmente, para fração de amortecimento
:
– traçar o Lugar das Raízes (LGR) sem compensador e escolher o ponto de operação;
– obter o ganho correspondente;
– avaliar se podemos aproximar por um sistema de segunda ordem dominante;
– calcular o erro em regime permanente a degrau e os tempos de pico
, de acomodação
e de subida
.
Depois projetaremos um controlador PI com pólo em e zero em
que zere
, mas mantenha o mesmo
, repetiremos as análises e compararemos os resultados.
– traçar o Lugar das Raízes (LGR) sem compensador e escolher o ponto de operação;
– obter o ganho
– avaliar se podemos aproximar por um sistema de segunda ordem dominante;
– calcular o erro em regime permanente a degrau
Depois projetaremos um controlador PI com pólo em
Passo 2
Traçamos o LGR de
no MATLAB com
s \(=\) tf('s');
G \(=1\)/((s\(+1\))*(s\(+3\))*(s\(+10\)));
rlocus(G);
zeta \(=0.5\);
sgrid(zeta,\(0\));
[K,p] \(=\) rlocfind(G);
Clicando sobre a curva com
obtemos, para o par de pólos dominantes,
e o ganho necessário
Passo 3
Verificamos a validade da aproximação de segunda ordem: o terceiro pólo em malha fechada está perto de
, enquanto os dominantes têm parte real cerca de
. A razão
é menor que
, mas ainda dá uma separação razoável, de modo que a aproximação de segunda ordem é moderadamente válida.
Passo 4
Para o sistema aproximado de segunda ordem com
e
tal que
, temos
Logo
Passo 5
Projetamos um compensador PI com
Fazemos no MATLAB
Gc \(=\) (s\(+0.5\))/s;
Gcomp \(=\) Gc*G;
rlocus(Gcomp);
zeta \(=0.5\);
sgrid(zeta,\(0\));
[Kc,\(p_c\)] \(=\) rlocfind(Gcomp);
Selecionando o mesmo ponto
obtemos
Passo 6
No LGR compensado, o ponto de operação permanece
com ganho total do loop aberto em malha (já incluindo o compensador)
Passo 7
Com o PI o sistema passa a ser do tipo I, logo
.
Os polos dominantes fechados são exatamente os mesmos escolhidos, de modo que
não mudam em relação ao caso anterior.
Os polos dominantes fechados são exatamente os mesmos escolhidos, de modo que
Passo 8
Comparando os resultados sem e com compensador:
– cai de
a
;
– ,
,
seguem iguais (
,
,
);
– o overshoot (relacionado a ) permanece o mesmo.
–
–
– o overshoot (relacionado a
Passo 9
A aproximação a segunda ordem continua válida: o pólo não dominante em
está razoavelmente afastado dos dominantes, e o zero introduzido em
não gera par dominantes adicionais, apenas melhora a margem de fase e elimina o erro em regime.
Passo 10
Na comparação das respostas a degrau, o sistema compensado atinge a mesma forma de curva subamortecida (
), com o mesmo pico e tempos de resposta, mas agora com erro em regime permanente zero, enquanto o não compensado ficava com
.
Resposta
K sem compensador:
Polos dominantes: sem compensador:
,
,
K do compensador ( ):
Polos dominantes mantidos: compensado:
,
,
Aproximação de ª ordem: moderadamente válida em ambos os casos.
Comparação de degraus: sistema compensado elimina o erro em regime sem alterar o transiente.
Polos dominantes:
K do compensador (
Polos dominantes mantidos:
Aproximação de
Comparação de degraus: sistema compensado elimina o erro em regime sem alterar o transiente.