Considere o sistema com realimentação unitária, cuja FTMA é:
G(s)=K(s+1)(s+3)(s+10)
Sabendo que sistema opera com uma fração de amortecimento de 0.5, pede-se:
a) Apresente o LGR (Matlab) do sistema sem compensador;
b) Determine o ponto de operação do sistema;
c) Determine o valor de K correspondente;
d) Avalie se a aproximação por um sistema de segunda ordem é válida;
e) Determine ess, Tp, Tr e Ts;
f) Projete um controlador PI que reduza a zero o erro da resposta ao degrau. Na formulação do compensador, utilize um pólo na origem e um zero em -0,5. Mantenha o mesmo sobressinal do sistema original;
g) Apresente o LGR (Matlab) do sistema com compensador;
h) Determine o ponto de operação do sistema;
i) Determine o valor de K correspondente;
j) Avalie se a aproximação por um sistema de segunda ordem é válida;
k) Determine ess, Tp, Tr e Ts;
l) Compare os valores obtidos em (e) e (k);
m) Avalie a qualidade da aproximação por um sistema de segunda ordem.
n) Compare a resposta ao degrau do sistema compensado e do sistema não compensado.
Utilize o código do Matlab abaixo para construir o LGR e determinar o ponto de operação do sistema sem o compensador. Modificar o código e proceder da mesma forma para o sistema com o compensador.
%sistema não compensado
|l|l| hline mu<icolumn2|l|%sistema não compensado hline mu<icolumn2|l|$K=1$ hline mu<icolumn2|l|l numg= [K] deng=poly([-1-3-10])
numg= [K]
deng=poly([-1-3-10])
G=tf(numg,deng) %resposta ao degrau
numh=[1] %sistema não compensado
denh=1 K=1 %colocar o valor de K calculado em (c)
H=tf(numh,denh) %Realimentação unitária numg= [K]
GH=G^* H %FTMA deng=poly([-1-3-10])
rlocus(GH) ; %LGR G=tf(numg,deng)
zeta=0.5 numh=[1]
sgrid(zeta,0) denh=1
[K,p]=rlocfind(G) H=tf(numh,denh) %Realimentação unitária
%Ampliar o local de interesse e clicar com o mouse no ponto de operação GH=G*H %FTMA
FTMF=feedback(G,H)
%0 ponto será exibido no espaço de trabalho step(FTMF)
% Armazenado em K e p
%sistema compensado denh=1
numg= [1]; H=tf(numh,denh)
deng=poly([-1-3-10])
G=tf(numg,deng) GGcH=GGcH rlocus(GGcH)
numgc= [10.5] zeta=0.5
dengc=[10] sgrid(zeta,0)
Gc=tf(numgc,dengc) [K,p]=rlocfind(GGcH)
numh=[1]

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de malha fechada com realimentação unitária cuja FTMA em código aberto é
G(s)=K(s+1)(s+3)(s+10)
Queremos, inicialmente, para fração de amortecimento zeta=0,5:
– traçar o Lugar das Raízes (LGR) sem compensador e escolher o ponto de operação;
– obter o ganho K correspondente;
– avaliar se podemos aproximar por um sistema de segunda ordem dominante;
– calcular o erro em regime permanente a degrau ess e os tempos de pico Tp, de acomodação Ts e de subida Tr.
Depois projetaremos um controlador PI com pólo em s=0 e zero em s=-0,5 que zere ess, mas mantenha o mesmo zeta, repetiremos as análises e compararemos os resultados.

Passo 2

Traçamos o LGR de
no MATLAB com
s \(=\) tf('s');
G \(=1\)/((s\(+1\))*(s\(+3\))*(s\(+10\)));
rlocus(G);
zeta \(=0.5\);
sgrid(zeta,\(0\));
[K,p] \(=\) rlocfind(G);
Clicando sobre a curva com obtemos, para o par de pólos dominantes,
e o ganho necessário

Passo 3

Verificamos a validade da aproximação de segunda ordem: o terceiro pólo em malha fechada está perto de -10, enquanto os dominantes têm parte real cerca de -2,4. A razão
102,4approx4,2
é menor que 5, mas ainda dá uma separação razoável, de modo que a aproximação de segunda ordem é moderadamente válida.

Passo 4

Para o sistema aproximado de segunda ordem com zeta=0,5 e omegan tal que zeta,omegan=2,398, temos
omegan=2,3980,5=4,796, omegad=omeganraiz1-zeta^2=4,154
Logo
ess=11+K=11+112,6approx8,9times10^-3,
Tp=piomegadapproxpi4,154approx0,757; s,
theta=arccos(0,5)=pi3, Tr=pi-thetaomegad=2pi/34,154approx0,504; s,
Tsapprox4zeta,omegan=40,5cdot4,796approx1,668; s

Passo 5

Projetamos um compensador PI com
Fazemos no MATLAB
Gc \(=\) (s\(+0.5\))/s;
Gcomp \(=\) Gc*G;
rlocus(Gcomp);
zeta \(=0.5\);
sgrid(zeta,\(0\));
[Kc,\(p_c\)] \(=\) rlocfind(Gcomp);
Selecionando o mesmo ponto obtemos

Passo 6

No LGR compensado, o ponto de operação permanece
sdapprox -2,398pm j,4,154,
com ganho total do loop aberto em malha (já incluindo o compensador)
Kcapprox167,1

Passo 7

Com o PI o sistema passa a ser do tipo I, logo
ess=0.
Os polos dominantes fechados são exatamente os mesmos escolhidos, de modo que
Tp, Tr, Ts não mudam em relação ao caso anterior.

Passo 8

Comparando os resultados sem e com compensador:
ess cai de 8,9times10^-3 a 0;
Tp, Tr, Ts seguem iguais ( 0,757; s, 0,504; s, 1,668; s);
– o overshoot (relacionado a zeta=0,5) permanece o mesmo.

Passo 9

A aproximação a segunda ordem continua válida: o pólo não dominante em -10 está razoavelmente afastado dos dominantes, e o zero introduzido em -0,5 não gera par dominantes adicionais, apenas melhora a margem de fase e elimina o erro em regime.

Passo 10

Na comparação das respostas a degrau, o sistema compensado atinge a mesma forma de curva subamortecida ( zeta=0,5), com o mesmo pico e tempos de resposta, mas agora com erro em regime permanente zero, enquanto o não compensado ficava com essapprox8,9times10^-3.

Resposta

K sem compensador: 112,6
Polos dominantes: -2,398pm j4,154 ess sem compensador: 8,9times10^-3 Tp=0,757; s, Tr=0,504; s, Ts=1,668; s
K do compensador ( Gc=(s+0,5)/s): 167,1
Polos dominantes mantidos: -2,398pm j4,154 ess compensado: 0 Tp=0,757; s, Tr=0,504; s, Ts=1,668; s
Aproximação de 2ª ordem: moderadamente válida em ambos os casos.
Comparação de degraus: sistema compensado elimina o erro em regime sem alterar o transiente.

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