Esboce o diagrama de bode (magnitude e fase) do sistema abaixo, calculando a frequência de canto.
G(s)=25s^2+4 s+25

Passo 1

O enunciado pede o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema
G(s)=25s^2+4s+25
Conteúdo: tratamento de sistemas de segunda ordem, identificação de frequência natural e fator de amortecimento, depois desenho do Bode assintótico para magnitude (slope pm 20 dB/dec por polo/zero) e fase (transição de 0circ a – 180circ em torno da frequência natural).

Passo 2

Escrevemos o denominador no formato padrão
s^2+2zetaomegan,s+omegan^2
Comparando com s^2+4s+25 temos
omegan^2=25;Rightarrow;omegan=5;(rad/s),
2zetaomegan=4;Rightarrow;zeta=42cdot5=0,4

Passo 3

A frequência de canto (ou frequência natural) é
omegan = 5 rad/s

Passo 4

Magnitude assintótica:
– Para omegallomegan a magnitude tende a
20log102525=0;dB,
com slope 0 dB/dec.
– Para omegaggomegan cada polo dá – 20 dB/dec, ao total – 40 dB/dec.
– Há pico de ressonância em
omegar=omeganraiz1-2zeta^2 =5raiz1-2cdot0,4^2approx4,12 rad/s,
com ganho de pico
Mr=12zetaraiz1-zeta^2approx1,36 Rightarrow20log10Mrapprox2,7 dB

Passo 5

Fase assintótica: a fase exata é
phi(omega) = -arctan!(2zetaomegaomegan^2 - omega^2),
com valores-chave:
  • omega = 0,1,omegan approx 0,5,rad/s Rightarrow phi approx 0^circ.
  • omega = omegan = 5,rad/s Rightarrow phi = -90^circ.
  • omega = 10,omegan = 50,rad/s Rightarrow phi approx -180^circ.
    Assintoticamente, a transição de 0^circ a -180^circ ocorre entre 0,1,omegan e 10,omegan.

Passo 6

Esboço final (assintótico):
Magnitude (dB vs log omega):
– Retém 0 dB até omega = 5,rad/s,
– A partir de omega = 5 rad/s desce a -40 dB/dec,
– Pico de +2,7 dB em omega approx 4,1,rad/s.
Fase ( ^circ vs log omega):
0^circ para omega <=sssim 0,5,
– passa por -90^circ em omega = 5,
– atinge -180^circ para omega >rsim 50.

Resposta

Frequência de canto omegan = 5,rad/s.
Diagrama de Bode assintótico:
Magnitude 0 dB até 5,rad/s, depois -40 dB/dec; pico approx +2,7 dB a 4,12,rad/s.
Fase transita de 0^circ (a 0,5,rad/s) a -180^circ (a 50,rad/s), passando por -90^circ em 5,rad/s.

Exercícios relacionados