Esboce o lugar das raízes do sistema abaixo, mostrando todos os passos necessários para achar os pontos e regiões importantes do esboço:
G(s)=(s+2)(s^2+6 s+8)(s+6)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do lugar das raízes (root locus) de um sistema em malha fechada de ganho K unitário em realimentação unitária, cujo ganho em malha aberta é
G(s)=s+2(s^2+6s+8),(s+6)
O conteúdo envolve localizar polos e zeros, determinar os trechos do eixo real que fazem parte do locus, calcular pontos de ruptura (breakaway/break-in), achar assíntotas e seu centróide, e verificar cruzamentos no eixo imaginário.

Passo 2

Encontramos polos e zeros de G(s) e notamos o cancelamento em código:
s^2+6s+8=(s+2)(s+4),
logo
G(s)=s+2(s+2)(s+4)(s+6)=1(s+4)(s+6)(cancelou-se o pólo em s=-2) ó
Ficam, portanto, na forma simplificada:
— polos reais simples em s=-4 e s=-6,
— nenhum zero finito remanescente.

Passo 3

Determinamos o trecho do eixo real que pertence ao lugar das raízes. A regra é: um ponto s do eixo real está no locus se, à sua direita, há número ímpar de polos e zeros. Aqui temos apenas dois polos em -6 e -4.
— Para s<-6, à direita há 2 polos Rightarrow par Rightarrow não pertence.
— Para -6<s<-4, à direita há 1 pólo ( s=-4) Rightarrow ímpar Rightarrow pertence.
— Para s>-4, à direita há 0 polos Rightarrow par Rightarrow não pertence.
Logo, o locus real está apenas no intervalo
-6<s<-4

Passo 4

Obtemos o ganho equivalente em função de s a partir da equação característica
1 + K,1(s+4)(s+6) = 0 Longrightarrow K = -(s+4)(s+6)
Para que K>0 no trecho real, é necessário
-(s^2+10s+24)>0 Long<=ftrightarrow s^2+10s+24<0 Long<=ftrightarrow -6<s<-4,
coerente com o passo anterior. Para achar o ponto de ruptura (breakaway/break-in), impomos
dKds=0 Longrightarrow ddsl[-(s^2+10s+24)r]=-(2s+10)=0 Longrightarrow s=-5
Portanto, há um ponto de quebra no eixo real em s=-5.

Passo 5

Como não há zeros finitos, o número de assíntotas é
n-m = 2-0 = 2
O centróide das assíntotas no eixo real é
sigmaA = sumpolos - sumzerosn-m = (-4)+(-6)-02 = -5
Os ângulos das assíntotas são dados por
varphik = (2k+1),180^circn-m = (2k+1),180^circ2, k=0,1
varphi0 = 90^circ, varphi1 = 270^circ,(=!-90^circ)
Logo, as duas ramificações que saem de -5 vão verticalmente para pm jinfty.

Passo 6

Verificamos cruzamento no eixo imaginário definindo s=jomega na característica simplificada
(s+4)(s+6) + K = 0 Longrightarrow (jomega+4)(jomega+6) + K = 0
Separando em parte real e imaginária:
— parte imaginária: ,10omega=0Rightarrowomega=0;
— parte real: 24 + K - omega^2 = 0.
A única solução em omega>=0 é omega=0, que corresponde a um ponto real já contemplado ( s=0 não faz parte do locus quando K>0). Portanto, não há cruzamento não trivial no eixo imaginário.

Resposta

— Polos em malha aberta (apos cancelamento): s=-4, s=-6.
— Locus real somente para -6<s<-4, com breakaway em s=-5.
— Duas assíntotas saindo do ponto sigmaA=-5 com ângulos +90^circ e -90^circ.
— Não há cruzamento não trivial no eixo imaginário.
— Esboço: dois ramos partindo de -4 e -6, encontrando-se em -5 e seguindo verticalmente até pm jinfty.

Exercícios relacionados