Esboce o lugar das raízes do sistema abaixo, mostrando todos os passos necessários para achar os pontos e regiões importantes do esboço:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do lugar das raízes (root locus) de um sistema em malha fechada de ganho
unitário em realimentação unitária, cujo ganho em malha aberta é
O conteúdo envolve localizar polos e zeros, determinar os trechos do eixo real que fazem parte do locus, calcular pontos de ruptura (breakaway/break-in), achar assíntotas e seu centróide, e verificar cruzamentos no eixo imaginário.
Passo 2
Encontramos polos e zeros de
e notamos o cancelamento em código:
logo
Ficam, portanto, na forma simplificada:
— polos reais simples em e
,
— nenhum zero finito remanescente.
— polos reais simples em
— nenhum zero finito remanescente.
Passo 3
Determinamos o trecho do eixo real que pertence ao lugar das raízes. A regra é: um ponto
do eixo real está no locus se, à sua direita, há número ímpar de polos e zeros. Aqui temos apenas dois polos em
e
.
— Para , à direita há
polos
par
não pertence.
— Para , à direita há
pólo (
)
ímpar
pertence.
— Para , à direita há
polos
par
não pertence.
Logo, o locus real está apenas no intervalo
— Para
— Para
— Para
Logo, o locus real está apenas no intervalo
Passo 4
Obtemos o ganho equivalente em função de
a partir da equação característica
Para que
no trecho real, é necessário
coerente com o passo anterior. Para achar o ponto de ruptura (breakaway/break-in), impomos
Portanto, há um ponto de quebra no eixo real em
.
Passo 5
Como não há zeros finitos, o número de assíntotas é
O centróide das assíntotas no eixo real é
Os ângulos das assíntotas são dados por
Logo, as duas ramificações que saem de
vão verticalmente para
.
Passo 6
Verificamos cruzamento no eixo imaginário definindo
na característica simplificada
Separando em parte real e imaginária:
— parte imaginária: ;
— parte real: .
A única solução em é
, que corresponde a um ponto real já contemplado (
não faz parte do locus quando
). Portanto, não há cruzamento não trivial no eixo imaginário.
— parte imaginária:
— parte real:
A única solução em
Resposta
— Polos em malha aberta (apos cancelamento):
,
.
— Locus real somente para , com breakaway em
.
— Duas assíntotas saindo do ponto com ângulos
e
.
— Não há cruzamento não trivial no eixo imaginário.
— Esboço: dois ramos partindo de e
, encontrando-se em
e seguindo verticalmente até
.
— Locus real somente para
— Duas assíntotas saindo do ponto
— Não há cruzamento não trivial no eixo imaginário.
— Esboço: dois ramos partindo de