Um sistema MIMO é modelado pela matriz de transferência abaixo (observe que a planta é do tipo 0 para a 1^{\text {a }} saída e do tipo 1 para a 2^{\text {a }} saída). O sistema é de estados controláveis e/ou de estados observáveis? Justifique-se.
\begin{gathered} G(s)=\frac{1}{s(s+1)}\left[\begin{array}{cc} s & s \\\\ 1 & s+2 \end{array}\right] \\\ {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} u_{1} \\\ u_{2} \end{array}\right]} \end{gathered} \quad\left[\begin{array}{l} y_{1} \\\ y_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema MIMO com dinâmica de estados
\dot x = A\,x + B\,u,\quad y = C\,x
em que
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & -1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Precisamos verificar, pelo critério de Kalman, se o sistema é completamente controlável e se é completamente observável.

Passo 2

Para testar controlabilidade, montamos a matriz de controlabilidade
\mathcal{C} = \bigl[B\;\;A\,B\bigr].
Primeiro computamos
A\,B = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0+1\cdot1 & 0\cdot1+1\cdot1\\\\ 0\cdot0+(-1)\cdot1 & 0\cdot1+(-1)\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & -1\end{pmatrix}.
Logo
\mathcal{C} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para ser completamente controlável, deve valer \rank(\mathcal{C})=2. Note que as duas primeiras colunas de \mathcal{C} são
\,(0,1)^T e \,(1,1)^T, que são linearmente independentes. Portanto \rank(\mathcal{C})=2, e o sistema é totalmente controlável.

Passo 4

Para testar observabilidade, montamos a matriz de observabilidade
\mathcal{O} = \begin{pmatrix}C\\[6pt]C\,A\end{pmatrix}.
Calculando
C\,A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot(-1)\\\\ 1\cdot0+0\cdot0 & 1\cdot1+0\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Assim
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0\\\\ 0 & -1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para ser completamente observável, deve valer \rank(\mathcal{O})=2. Observamos que a primeira coluna de \mathcal{O} é (0,1,0,0)^T, não nula, e a segunda é (1,0,-1,1)^T. Essas duas colunas são linearmente independentes, logo \rank(\mathcal{O})=2, e o sistema é totalmente observável.

Resposta

O sistema é simultaneamente completamente controlável e completamente observável.

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