Considere um sistema de referência cartesiano para o espaço e neste temos os pontos
A=(-4,-3,1), B=(2,2,-3) \text { e } C=(1,-1,3) .
a) (\mathbf{0 , 5}) Determine as coordenadas do vetor \overrightarrow{A B} e do ponto D=B+\overrightarrow{A C}
b) (\mathbf{0 , 8}) Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para a reta r que contém A e B.
c) (1,2) Justifique porque os pontos pontos A, B e C não são colineares. Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas para o plano \pi que os contém.
Passo 1
O enunciado dá os pontos no espaço cartesiano:
A=(-4,-3,1),\qquad B=(2,2,-3),\qquad C=(1,-1,3).
O que se pede:
(a) Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{AB} e do ponto D=B+\overrightarrow{AC}.
(b) Determinar uma equação vetorial e as equações paramétricas da reta r que contém A e B.
(c) Justificar por que A,B,C não são colineares. Determinar uma equação vetorial e as equações paramétricas do plano \pi que contém A,B,C.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As coordenadas de A,B,C (listadas acima).
Operações vetoriais a usar: diferença de pontos para obter vetores (por ex. \overrightarrow{AB}=B-A), soma de um ponto com um vetor para obter outro ponto (por ex. D=B+\overrightarrow{AC}), equação vetorial da reta \vec{r}=\vec{p_0}+t\vec{v}, equação vetorial do plano \vec{r}=\vec{p_0}+s\vec{u}+t\vec{v} e teste de colinearidade (ver se dois vetores são múltiplos escalares ou usar o produto vetorial).
Passo 2
Primeiro: como se calcula um vetor entre dois pontos. Se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), então
Isso significa subtrair coordenada a coordenada. Vamos aplicar para \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} (precisaremos de \overrightarrow{AC} para a parte (a) e para o plano).
Isso é útil na prova: se precisarem testar se um ponto pertence à reta, basta ver se existem (t] satisfazendo as três equações ao mesmo tempo.]
Passo 6
Justificar por que A,B,C não são colineares.
Conceito: três pontos A,B,C são colineares se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem linearmente dependentes, isto é, se existe escalar k tal que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}. Outra forma prática: se os componentes forem proporcionais (mesma razão para todas as coordenadas).
Como essas razões não são iguais, \overrightarrow{AB} não é múltiplo escalar de \overrightarrow{AC}. Logo os vetores não são paralelos e os pontos não são colineares.
Uma abordagem alternativa (mais robusta) é calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} e verificar se é o vetor nulo; se não for nulo, os vetores não são paralelos. Vamos calcular para mostrar de forma positiva no próximo passo.
Passo 7
Cálculo do produto vetorial \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Lembrete do método: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
Como \overrightarrow{n}\neq(0,0,0), os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos e, portanto, os pontos A,B,C não são colineares. (Isso confirma a conclusão do passo anterior.)]
Passo 8
Equação vetorial do plano \pi que contém A,B,C.
Receita: um plano pode ser dado de forma paramétrica/vetorial por um ponto do plano mais combinações lineares de dois vetores diretores não colineares do plano. Podemos usar A como ponto e os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} como direções.
Assim a equação vetorial (forma paramétrica vetorial) do plano é
(c) Os pontos não são colineares porque \overrightarrow{AB}=(6,5,-4) não é múltiplo escalar de \overrightarrow{AC}=(5,2,2) (razões das componentes diferentes) e porque \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(18,-32,-13)\neq(0,0,0).
Equação vetorial do plano \pi: \displaystyle \vec{r}=(-4,-3,1)+s(6,5,-4)+t(5,2,2),\\ s,t\in\mathbb{R}.
Equações paramétricas do plano: \displaystyle x=-4+6s+5t,\\ y=-3+5s+2t,\\ z=1-4s+2t,\\ s,t\in\mathbb{R}.