Considere um sistema de referência cartesiano para o espaço e neste temos os pontos
A=(-4,-3,1), B=(2,2,-3) \text { e } C=(1,-1,3) .
a) (\mathbf{0 , 5}) Determine as coordenadas do vetor \overrightarrow{A B} e do ponto D=B+\overrightarrow{A C}
b) (\mathbf{0 , 8}) Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para a reta r que contém A e B.
c) (1,2) Justifique porque os pontos pontos A, B e C não são colineares. Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas para o plano \pi que os contém.

Passo 1

O enunciado dá os pontos no espaço cartesiano:
A=(-4,-3,1),\qquad B=(2,2,-3),\qquad C=(1,-1,3).
O que se pede:
  • (a) Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{AB} e do ponto D=B+\overrightarrow{AC}.
  • (b) Determinar uma equação vetorial e as equações paramétricas da reta r que contém A e B.
  • (c) Justificar por que A,B,C não são colineares. Determinar uma equação vetorial e as equações paramétricas do plano \pi que contém A,B,C.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As coordenadas de A,B,C (listadas acima).
  • Operações vetoriais a usar: diferença de pontos para obter vetores (por ex. \overrightarrow{AB}=B-A), soma de um ponto com um vetor para obter outro ponto (por ex. D=B+\overrightarrow{AC}), equação vetorial da reta \vec{r}=\vec{p_0}+t\vec{v}, equação vetorial do plano \vec{r}=\vec{p_0}+s\vec{u}+t\vec{v} e teste de colinearidade (ver se dois vetores são múltiplos escalares ou usar o produto vetorial).

Passo 2

Primeiro: como se calcula um vetor entre dois pontos. Se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), então
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Isso significa subtrair coordenada a coordenada. Vamos aplicar para \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} (precisaremos de \overrightarrow{AC} para a parte (a) e para o plano).
Calcule \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(\,2-(-4),\;2-(-3),\;-3-1\,)=(6,\;5,\;-4).
Calcule \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC}=C-A=(\,1-(-4),\;-1-(-3),\;3-1\,)=(5,\;2,\;2).
Expliquei: para cada coordenada subtrai-se a coordenada de A da coordenada do ponto alvo.

Passo 3

Agora calcule o ponto D=B+\overrightarrow{AC}. Somar um vetor a um ponto significa somar coordenada a coordenada:
D=B+\overrightarrow{AC}=(\,2,\;2,\;-3\,)+(5,\;2,\;2)=(\,2+5,\;2+2,\;-3+2\,)=(7,\;4,\;-1).
Portanto D=(7,4,-1).

Passo 4

Equação vetorial da reta r que passa por A e B.
Ideia/receita rápida: uma reta que passa por um ponto \vec{p_0} e tem direção dada por um vetor \vec{v} é
\vec{r}=\vec{p_0}+t\vec{v},\qquad t\in\mathbb{R}.
Aqui podemos usar como ponto \vec{p_0}=\overrightarrow{OA}=( -4,-3,1) e como vetor diretor \vec{v}=\overrightarrow{AB}=(6,5,-4).
Assim a equação vetorial da reta r é
\vec{r}=\bigl(-4,-3,1\bigr)+t\bigl(6,5,-4\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.
Explanação curta: variar t desloca o ponto base A na direção de B (ou no sentido oposto), cobrindo todos os pontos da reta.

Passo 5

Equações paramétricas da reta [r).
A partir de \vec{r}=( -4,-3,1)+t(6,5,-4) lemos coordenada a coordenada:
\begin{cases} x=-4+6t,\\[4pt] y=-3+5t,\\[4pt] z=1-4t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso é útil na prova: se precisarem testar se um ponto pertence à reta, basta ver se existem (t] satisfazendo as três equações ao mesmo tempo.]

Passo 6

Justificar por que A,B,C não são colineares.
Conceito: três pontos A,B,C são colineares se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem linearmente dependentes, isto é, se existe escalar k tal que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}. Outra forma prática: se os componentes forem proporcionais (mesma razão para todas as coordenadas).
Compare razões das componentes:
\frac{6}{5}=1{,}2,\qquad \frac{5}{2}=2{,}5,\qquad \frac{-4}{2}=-2.
Como essas razões não são iguais, \overrightarrow{AB} não é múltiplo escalar de \overrightarrow{AC}. Logo os vetores não são paralelos e os pontos não são colineares.
Uma abordagem alternativa (mais robusta) é calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} e verificar se é o vetor nulo; se não for nulo, os vetores não são paralelos. Vamos calcular para mostrar de forma positiva no próximo passo.

Passo 7

Cálculo do produto vetorial \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Lembrete do método: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Aplicando a \overrightarrow{AB}=(6,5,-4) e \overrightarrow{AC}=(5,2,2):
\begin{aligned} n_1&=5\cdot2-(-4)\cdot2=10+8=18,\\[4pt] n_2&=(-4)\cdot5-6\cdot2=-20-12=-32,\\[4pt] n_3&=6\cdot2-5\cdot5=12-25=-13. \end{aligned}
Portanto
\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(18,\,-32,\,-13).
Como \overrightarrow{n}\neq(0,0,0), os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos e, portanto, os pontos A,B,C não são colineares. (Isso confirma a conclusão do passo anterior.)]

Passo 8

Equação vetorial do plano \pi que contém A,B,C.
Receita: um plano pode ser dado de forma paramétrica/vetorial por um ponto do plano mais combinações lineares de dois vetores diretores não colineares do plano. Podemos usar A como ponto e os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} como direções.
Assim a equação vetorial (forma paramétrica vetorial) do plano é
\vec{r}=\bigl(-4,-3,1\bigr)+s\bigl(6,5,-4\bigr)+t\bigl(5,2,2\bigr),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Expliquei: variando s,t obtém-se todo o plano gerado pelos vetores diretores a partir de A.

Passo 9

Equações paramétricas do plano [\pi).
A partir da equação vetorial do passo anterior, escrevemos coordenada a coordenada:
\begin{cases} x=-4+6s+5t,\\[4pt] y=-3+5s+2t,\\[4pt] z=1-4s+2t, \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Essas são as três equações paramétricas que descrevem todas as coordenadas dos pontos do plano em função dos parâmetros s\] e \(t.]

Passo 10

(Complemento útil na prova) Equação cartesiana (escalar) do plano com o vetor normal calculado.
Se \overrightarrow{n}=(n_1,n_2,n_3) é um vetor normal ao plano e P_0=(x_0,y_0,z_0) um ponto do plano, a equação escalar é
n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0.
Usando \overrightarrow{n}=(18,-32,-13) e A=(-4,-3,1):
18(x+4)-32(y+3)-13(z-1)=0.
Expandindo:
18x-32y-13z-11=0,
ou seja
18x-32y-13z=11.
Isso é opcional mas frequentemente pedido: fornece a forma padrão da equação do plano.

Resposta

(a) \overrightarrow{AB}=(6,5,-4) e D=(7,4,-1).
(b) Equação vetorial: \displaystyle \vec{r}=(-4,-3,1)+t(6,5,-4),\\ t\in\mathbb{R}.
Equações paramétricas: \displaystyle x=-4+6t,\\ y=-3+5t,\\ z=1-4t,\\ t\in\mathbb{R}.
(c) Os pontos não são colineares porque \overrightarrow{AB}=(6,5,-4) não é múltiplo escalar de \overrightarrow{AC}=(5,2,2) (razões das componentes diferentes) e porque \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(18,-32,-13)\neq(0,0,0).
Equação vetorial do plano \pi: \displaystyle \vec{r}=(-4,-3,1)+s(6,5,-4)+t(5,2,2),\\ s,t\in\mathbb{R}.
Equações paramétricas do plano: \displaystyle x=-4+6s+5t,\\ y=-3+5s+2t,\\ z=1-4s+2t,\\ s,t\in\mathbb{R}.

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