Considere que numa base ortonormal positiva ( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} ) temos os vetores \vec{u}=(1,2,0), \vec{v}=(2,0,1) e \vec{w}=(x, 0,-1).
a) ( \mathbf{0 , 5} ) Determine o valor de x para o qual 2 \vec{w} \perp(\vec{v}-\vec{u}).
b) (\mathbf{0 , 5}) Para quais valores de x o conjunto \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é L.D.?
c) ( \mathbf{1}, \mathbf{0} ) Considerando x=1, determine a área do paralelogramo de lados \vec{u} e \vec{w}.
d) (\mathbf{1 , 0}) Determine a \operatorname{Proj}_{\vec{u}} \vec{v}.
Passo 1
O enunciado dá uma base ortonormal positiva (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) e os vetores
As perguntas são:
(a) Determinar x tal que 2\vec{w}\perp(\vec{v}-\vec{u}).
(b) Para quais valores de x o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é linearmente dependente.
(c) Tomando x=1, determinar a área do paralelogramo com lados \vec{u} e \vec{w}.
(d) Determinar \operatorname{Proj}_{\vec{u}}\vec{v} (projeção de \vec{v} sobre \vec{u}).
Passo 2
Parte (a). Primeiro interpretar a condição de perpendicularidade com produto escalar: dois vetores \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares se e somente se \vec{a}\cdot\vec{b}=0. Vou aplicar isso com \vec{a}=2\vec{w} e \vec{b}=\vec{v}-\vec{u}.
Parte (b). Três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes se e somente se a matriz que tem esses vetores como colunas tem determinante zero. Vou formar a matriz M cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
Parte (c). Agora tomar x=1, logo \vec{w}=(1,0,-1). A área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{w} é o módulo do produto vetorial \|\vec{u}\times\vec{w}\|.
Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{w}. Usando a regra do determinante com as componentes: