Considere que numa base ortonormal positiva ( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} ) temos os vetores \vec{u}=(1,2,0), \vec{v}=(2,0,1) e \vec{w}=(x, 0,-1).
a) ( \mathbf{0 , 5} ) Determine o valor de x para o qual 2 \vec{w} \perp(\vec{v}-\vec{u}).
b) (\mathbf{0 , 5}) Para quais valores de x o conjunto \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é L.D.?
c) ( \mathbf{1}, \mathbf{0} ) Considerando x=1, determine a área do paralelogramo de lados \vec{u} e \vec{w}.
d) (\mathbf{1 , 0}) Determine a \operatorname{Proj}_{\vec{u}} \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá uma base ortonormal positiva (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) e os vetores
\vec{u}=(1,2,0),\qquad \vec{v}=(2,0,1),\qquad \vec{w}=(x,0,-1).
As perguntas são:
(a) Determinar x tal que 2\vec{w}\perp(\vec{v}-\vec{u}).
(b) Para quais valores de x o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é linearmente dependente.
(c) Tomando x=1, determinar a área do paralelogramo com lados \vec{u} e \vec{w}.
(d) Determinar \operatorname{Proj}_{\vec{u}}\vec{v} (projeção de \vec{v} sobre \vec{u}).

Passo 2

Parte (a). Primeiro interpretar a condição de perpendicularidade com produto escalar: dois vetores \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares se e somente se \vec{a}\cdot\vec{b}=0. Vou aplicar isso com \vec{a}=2\vec{w} e \vec{b}=\vec{v}-\vec{u}.
Calcular \vec{v}-\vec{u}:
\vec{v}-\vec{u}=(2,0,1)-(1,2,0)=(1,-2,1).
Escrever 2\vec{w}:
2\vec{w}=2(x,0,-1)=(2x,0,-2).
Fazer o produto escalar e igualar a zero:
2\vec{w}\cdot(\vec{v}-\vec{u})=(2x,0,-2)\cdot(1,-2,1)=2x\cdot 1 + 0\cdot(-2) + (-2)\cdot 1 = 2x-2.
Impor perpendicularidade:
2x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 3

Parte (b). Três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes se e somente se a matriz que tem esses vetores como colunas tem determinante zero. Vou formar a matriz M cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & x\\[4pt] 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Calcular \det M por desenvolvimento na primeira linha (ou método de sua preferência). Usando expansão:
\det M = 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]1 & -1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt]0 & -1\end{pmatrix} +x\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & -1\end{pmatrix}=0\cdot(-1)-0\cdot 1=0,
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-0\cdot 0=-2,
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1-0\cdot 0=2.
Substituindo:
\det M = 1\cdot 0 - 2\cdot(-2) + x\cdot 2 = 0 + 4 + 2x = 2x+4.
Condição de dependência linear: \det M=0, então
2x+4=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2.]

Passo 4

Parte (c). Agora tomar x=1, logo \vec{w}=(1,0,-1). A área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{w} é o módulo do produto vetorial \|\vec{u}\times\vec{w}\|.
Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{w}. Usando a regra do determinante com as componentes:
\vec{u}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\[2pt] 1 & 2 & 0\\[2pt] 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2\cdot(-1)-0\cdot 0)-\vec{j}(1\cdot(-1)-0\cdot 1)+\vec{k}(1\cdot 0-2\cdot 1).
Calcular cada componente:
\vec{i}\text{: }2\cdot(-1)-0= -2,
\vec{j}\text{: }1\cdot(-1)-0 = -1\quad\text{(lembre do sinal negativo na fórmula, fica }-(-1)=+1\text{)},ó
\vec{k}\text{: }1\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2.
Portanto
\vec{u}\times\vec{w}=(-2,\,1,\,-2).
O módulo é
\|\vec{u}\times\vec{w}\|=\sqrt{(-2)^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Logo a área do paralelogramo é 3.]

Passo 5

Parte (d). A projeção de \vec{v} sobre \vec{u} (denotada \operatorname{Proj}_{\vec{u}}\vec{v}) é dada pela fórmula
\operatorname{Proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\,\vec{u}.
Calcular os produtos escalares necessários:
\vec{v}\cdot\vec{u}=(2,0,1)\cdot(1,2,0)=2\cdot 1 + 0\cdot 2 + 1\cdot 0 = 2,
\vec{u}\cdot\vec{u}=(1,2,0)\cdot(1,2,0)=1^2+2^2+0^2=1+4=5.
O fator escalar é \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\dfrac{2}{5}. Multiplicando por \vec{u}:
\operatorname{Proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{2}{5}(1,2,0)=\left(\frac{2}{5},\frac{4}{5},0\right).

Resposta

(a) x=1
(b) x=-2
(c) Área =3
(d) \operatorname{Proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\left(\dfrac{2}{5},\dfrac{4}{5},0\right)

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