Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada
(de ordem
),
e pede para dizer se isso é VERDADEIRO ou FALSO. Vou listar o que temos e o que é pedido:
- Temos uma matriz quadrada
de ordem (nenhuma restrição adicional dada). - A pergunta: a igualdade
vale para toda matriz quadrada ?
Vou mostrar um contra-exemplo se a afirmação for falsa, e explicar por que em geral não vale.
Passo 2
Primeiro, testar com um exemplo simples: escolha
e
(matriz identidade
). Escrevendo em TeX,
Calculo ambos os lados da igualdade:]
Passo 3
Calcular
para esse
. Como
, tem-se
. Então
porque
para escalar
.
Passo 4
Calcular
. Para
,
Passo 5
Concluir no contra-exemplo: para
obtemos
portanto
. Logo a igualdade proposta não é verdadeira em geral. Conclui-se que a afirmação é FALSA, com contra-exemplo explícito
.
Passo 6
Para entender por que a igualdade falha em geral, dou uma explicação conceitual (útil para a prova). Se
são os autovalores de
(contados com multiplicidade algébrica, em um corpo algébrico que contenha os autovalores), então os autovalores de
são
. Assim
Expandindo o produto obtém-se a soma das simétricas elementares dos
:
onde
é a soma de todos os produtos de
autovalores distintos. Em particular
e
. Portanto
Só quando todos os termos intermediários (as simétricas elementares de ordem
a
) forem zero é que se teria
. Isso normalmente não acontece para
.
Passo 7
Indico alguns casos especiais em que a igualdade ocorre:
- Se
(matrizes , i.e. escalares), escrevendo , tem-se . Portanto a igualdade é verdadeira para . - Se
é nilpotente (todos os autovalores iguais a ), então e , logo vale (porque ). Por exemplo, para
tem-se
e
, então a igualdade vale nesse caso.
- Mas, como mostrado, para matrizes como
a igualdade não vale.]
Passo 8
Resumo didático curto para a prova: pense em
como um polinômio em
:
Avaliar em
dá
. A menos que todos os coeficientes intermediários sejam zero, não se tem
.
Resposta
FALSA