Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
\operatorname{det}(I+A)=1+\operatorname{det} A

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada A (de ordem n),
\det(I+A)=1+\det A,
e pede para dizer se isso é VERDADEIRO ou FALSO. Vou listar o que temos e o que é pedido:
  • Temos uma matriz quadrada A de ordem n (nenhuma restrição adicional dada).
  • A pergunta: a igualdade \det(I+A)=1+\det A vale para toda matriz quadrada A ?
    Vou mostrar um contra-exemplo se a afirmação for falsa, e explicar por que em geral não vale.

Passo 2

Primeiro, testar com um exemplo simples: escolha n=2 e A=I_2 (matriz identidade 2\times2). Escrevendo em TeX,
A = I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calculo ambos os lados da igualdade:]

Passo 3

Calcular \det(I+A) para esse A. Como A=I_2, tem-se I_2 + A = I_2 + I_2 = 2I_2. Então
\det(I_2+A)=\det(2I_2)=2^2=4,
porque \det(cI_n)=c^n para escalar c.

Passo 4

Calcular 1+\det A. Para A=I_2,
\det A=\det(I_2)=1, \qquad\text{logo}\qquad 1+\det A=1+1=2.

Passo 5

Concluir no contra-exemplo: para A=I_2 obtemos
\det(I_2+A)=4\quad\text{e}\quad 1+\det A=2,
portanto 4\neq 2. Logo a igualdade proposta não é verdadeira em geral. Conclui-se que a afirmação é FALSA, com contra-exemplo explícito A=I_2.

Passo 6

Para entender por que a igualdade falha em geral, dou uma explicação conceitual (útil para a prova). Se \lambda_1,\dots,\lambda_n são os autovalores de A (contados com multiplicidade algébrica, em um corpo algébrico que contenha os autovalores), então os autovalores de I+A são 1+\lambda_1,\dots,1+\lambda_n. Assim
\det(I+A)=\prod_{i=1}^n (1+\lambda_i).
Expandindo o produto obtém-se a soma das simétricas elementares dos \lambda_i:
\prod_{i=1}^n (1+\lambda_i) =1+\sigma_1(\lambda)+\sigma_2(\lambda)+\cdots+\sigma_{n-1}(\lambda)+\sigma_n(\lambda),
onde \sigma_k(\lambda) é a soma de todos os produtos de k autovalores distintos. Em particular \sigma_1(\lambda)=\sum_i \lambda_i=\operatorname{tr}(A) e \sigma_n(\lambda)=\prod_i \lambda_i=\det A. Portanto
\det(I+A)=1+\operatorname{tr}(A)+(\text{termos de ordem }2,\dots,n-1)+\det A.
Só quando todos os termos intermediários (as simétricas elementares de ordem 1 a n-1) forem zero é que se teria \det(I+A)=1+\det A. Isso normalmente não acontece para n\ge2.

Passo 7

Indico alguns casos especiais em que a igualdade ocorre:
  • Se n=1 (matrizes 1\times1, i.e. escalares), escrevendo A=(a), tem-se \det(I+A)=1+a=1+\det A. Portanto a igualdade é verdadeira para n=1.
  • Se A é nilpotente (todos os autovalores iguais a 0), então \det A=0 e \det(I+A)=\prod_{i=1}^n(1+0)=1, logo \det(I+A)=1+\det A vale (porque 1=1+0). Por exemplo, para
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
tem-se \det A=0 e \det(I+A)=1, então a igualdade vale nesse caso.
  • Mas, como mostrado, para matrizes como A=I_2 a igualdade não vale.]

Passo 8

Resumo didático curto para a prova: pense em \det(I+tA) como um polinômio em t:
\det(I+tA)=1+t\operatorname{tr}(A)+\cdots + t^n\det A.
Avaliar em t=1 \det(I+A)=1+\operatorname{tr}(A)+\cdots+\det A. A menos que todos os coeficientes intermediários sejam zero, não se tem \det(I+A)=1+\det A.

Resposta

FALSA

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