Considere o sistema representado na forma de variáveis de estado
em que
Verifique que o sistema é observável e controlável. Se for, projete uma lei de realimentação de estado completo e um observador alocado os polos do sistema em malha fechada em
e os polos do observador vem
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um sistema no espaço de estados
com
O conteúdo aqui é teoria de espaço de estados: a gente vai
- verificar se o sistema é controlável e observável,
- se for, projetar realimentação de estado inteiro (ganho
) para colocar polos em , - projetar observador (ganho
) com polos em .
Pra isso precisamos usar matrizes de controlabilidade/observabilidade e design de polos via comparação de polinômio característico.
Passo 2
Verificando controlabilidade
- Definição: o sistema é controlável se a matriz
tiver posto máximo (aqui 2).
2) Calculemos
2) Calculemos
Então
- O determinante é
, logo .
Conclusão: sistema é controlável.
Passo 3
Verificando observabilidade
- Definição: o sistema é observável se
tiver posto 2.
2) Calculemos
2) Calculemos
Então
- O determinante é
, logo posto 2.
Conclusão: sistema é observável.
Passo 4
Projeto de realimentação de estado (
)
- Queremos polos em
. O polinômio desejado é
- A malha fechada fica
. Em 2×2, podemos escrever o polinômio de como
- Denotando
, tem-se
- Igualamos aos coeficientes desejados (
):
– coeficiente de:
– termo constante: - Resolvendo o sistema
vem
Passo 5
Projeto do observador (
)
- Queremos erros com polos em
, ou seja polinômio
- A dinâmica de erro é
, e de novo em 2×2
- Denotando
, calculamos
- Igualando a
dá
- Resolvendo
vem
Resposta
Ganho de realimentação de estado completo:
Ganho do observador de estado (Luenberger):