Considere o sistema representado na forma de variáveis de estado
l dotx(t)=A x(t)+B u(t) y(t)=C x(t)+D u(t)
em que
Verifique que o sistema é observável e controlável. Se for, projete uma lei de realimentação de estado completo e um observador alocado os polos do sistema em malha fechada em A=[cc 1 & 2 -8 & -10 ], B=[l 2 1 ], C=[ll 5 & 2 ] e D[0] e os polos do observador vem s1,2=-1 pm j.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema no espaço de estados
dot x = A,x + B,u, y = C,x + D,u
com
A=1&2-8&-10, B=21, C=5&2, D=[0]
O conteúdo aqui é teoria de espaço de estados: a gente vai
  1. verificar se o sistema é controlável e observável,
  2. se for, projetar realimentação de estado inteiro (ganho K) para colocar polos em s=-1pm j,
  3. projetar observador (ganho L) com polos em s=-12.
    Pra isso precisamos usar matrizes de controlabilidade/observabilidade e design de polos via comparação de polinômio característico.

Passo 2

Verificando controlabilidade
  1. Definição: o sistema é controlável se a matriz
C = [B;;A,B]
tiver posto máximo (aqui 2).
2) Calculemos
B=21, A,B=1&2-8&-1021 =1cdot2+2cdot1-8cdot2-10cdot1 =4-26
Então
C =2&41&-26
  1. O determinante é 2cdot(-26)-4cdot1=-52-4=-56neq0, logo rank( C)=2.
    Conclusão: sistema é controlável.

Passo 3

Verificando observabilidade
  1. Definição: o sistema é observável se
O=CC,A
tiver posto 2.
2) Calculemos
C=5&2, C,A=5&2 1&2-8&-10 =5cdot1+2cdot(-8)&5cdot2+2cdot(-10) =-11&0
Então
O =5&2-11&0
  1. O determinante é 5cdot0-2cdot(-11)=22neq0, logo posto 2.
    Conclusão: sistema é observável.

Passo 4

Projeto de realimentação de estado ( K)
  1. Queremos polos em s1,2=-1pm j. O polinômio desejado é
(s+1-j)(s+1+j)=(s+1)^2+1 = s^2+2s+2
  1. A malha fechada fica Arm cl=A-BK. Em 2×2, podemos escrever o polinômio de Arm cl como
  1. Denotando s^2 -(tr(A-BK))s + det(A-BK) , tem-se
K=[k1;;k2]
  1. Igualamos aos coeficientes desejados ( tr(A-BK)=(1-2k1)+(-10-k2)=-9-2k1-k2, ):
    – coeficiente de det(A-BK) =(1-2k1)(-10-k2)-(2-2k2)(-8-k1) =6+22k1-17k2 :
    – termo constante: s^2+2s+2
  2. Resolvendo o sistema
s
vem
-tr(A-BK)=2;Rightarrow;-(-9-2k1-k2)=2 ;Rightarrow;2k1+k2=-7

Passo 5

Projeto do observador ( L)
  1. Queremos erros com polos em s1,2=-12, ou seja polinômio
(s+12)^2 = s^2+24s+144
  1. A dinâmica de erro é A-LC, e de novo em 2×2
  1. Denotando s^2 -(tr(A-LC))s + det(A-LC) , calculamos
L=l1l2
  1. Igualando a tr(A-LC)=(1-5l1)+(-10-2l2)=-9-5l1-2l2,
  1. Resolvendo
det(A-LC) =(1-5l1)(-10-2l2)-(2-2l1)(-8-5l2) =6+34l1+8l2
vem
s^2+24s+144

Resposta

Ganho de realimentação de estado completo:
K=-tfrac12356& -tfrac7328
Ganho do observador de estado (Luenberger):
L=tfrac397[6pt]-tfrac457

Exercícios relacionados