Sejam
x(t)=u(t-3)-u(t-5) e h(t)=e^-33 u(t)
Calcule y(t)=x(t) * h(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos
x(t)=u(t-3)-u(t-5) e h(t)=e^-3t,u(t),
e quer o sinal
y(t)=x(t)*h(t)
Isso é um problema de convolução de sinais, onde usamos a integral
y(t)=integral-infty^infty x(tau),h(t-tau),dtau
Pra resolver vamos precisar entender o que é cada sinal (janela e decaimento exponencial), como achar os limites de integração e como resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, anota o que é cada coisa:
  • é uma janela (funcão “caixa”) que vale 1 para e 0 caso contrário.
  • é uma exponencial que existe só para .
    Na convolução , a gente só integra onde os dois sinais são simultaneamente não nulos.

Passo 3

Vamos achar o suporte, ou seja, os valores de y(t) =integral3^min(5,t) e^-3l(t-taur),dtau ;=;e^-3t!integral3^min(5,t) e^3tau,dtau que realmente contam:
  1. só quando .
  2. só quando , ou seja .
    Logo a integração acontece de até .
Escrevendo a integral:

Passo 4

Agora vamos analisar em três “janelas” de y(t) =e^-3tintegral3^te^3taudtau =e^-3t,gl[13e^3taugr]3^t =e^-3t,13l(e^3t-e^9r) :
  1. Para y(t)=13l(1 - e^-3(t-3)r) , temos y(t) =e^-3tintegral3^5e^3taudtau =e^-3t,13l(e^15-e^9r) =13l(e^-3(t-5) - e^-3(t-3)r) , então o intervalo fica que é vazio.
  2. Para , o limite superior é .
    Simplificando:
  3. Para , o limite superior fica em 5.

Resposta

Em forma de função por partes, o resultado final é
y(t)= 0, & t<3,[6pt] 13l(1 - e^-3(t-3)r), & 3<= t<5,[8pt] 13l(e^-3(t-5) - e^-3(t-3)r), & t>=5
Pronto! É só essa a convolução de com .

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