Exercício 1: Esboce os diagramas assintóticos de Bode de magnitude (em dB) e de fase (em graus) das seguintes funções de transferência.
Passo 1
Beleza, vamos desenhar os diagramas de Bode (magnitude em dB e fase em graus) da função
Conteúdo: análise assintótica de Bode – identificar polos e zeros, calcular ganhos e esboçar retas com as mudanças de inclinação (slope) em cada frequência de canto. A teoria básica que a gente usa é: cada zero de 1ª ordem dá +20 dB/déc, cada polo de 1ª ordem dá –20 dB/déc; polos de 2ª ordem dão –40 dB/déc; em fase, cada zero de 1ª ordem soma até +90° em torno da frequência de canto e cada polo de 1ª ordem reduz até –90°, etc.
Passo 2
Fatorando H(s) em termos de polos e zeros:
- Ganho numérico:
. - Zero de origem:
→ contribui com +20 dB/déc e +90° fixos. - Zero real em
(por ) → +20 dB/déc a partir de 10 rad/s. - Polo real em
(por ) → –20 dB/déc a partir de 100 rad/s. - Polo de 2ª ordem em
. Escrevendo como temos rad/s e . Esse polo de 2ª ordem dá –40 dB/déc a partir de rad/s e fase total –180° distribuída em cerca de uma década antes e depois de 1 rad/s.
Passo 3
Esboço assintótico da MAGNITUDE:
-
Antes de
: só aparece o zero de origem e o ganho inicial. Para , então em dB:Logo temos uma reta de slope +20 dB/déc passando por –20 dB em. -
Em
rad/s entra o polo de 2ª ordem → redução de –40 dB/déc. A inclinação de +20 dB/déc vira dB/déc a partir desse ponto. Em , a magnitude está em –20 dB. -
Em
: entra o zero em 10 → soma +20 dB/déc. A inclinação fica então dB/déc (reta horizontal). Em o valor é
dB. -
Em
: entra o polo em 100 → –20 dB/déc. A inclinação passa de 0 para –20 dB/déc. Em a reta está em –40 dB.
Resumo da magnitude assintótica:
- 0,1–1 rad/s: +20 dB/déc, partindo de –∞ até –20 dB em ω=1.
- 1–10 rad/s: –20 dB/déc, de –20 dB a –40 dB.
- 10–100 rad/s: 0 dB/déc, nível constante em –40 dB.
-
100 rad/s: –20 dB/déc, a partir de –40 dB em 100.
Passo 4
Esboço assintótico da FASE:
A fase total é soma das fases de cada fator:
- Zero de origem
: soma +90° para todo . - Zero em 10 (
): começa em 0° para , sobe linearmente até +90° centradamente entre e , ficando +45° em , e +90° para . - Polo de 2ª ordem (
): começa em 0° para , desce até –90° em , e vai a –180° para ; descentralizado entre 0,1 e 10. - Polo em 100 (
): começa contribuindo 0° até , vai para –90° entre 10 e 1000 (–45° em ), e estabiliza em –90° para .
Somando tudo, em cada faixa de frequência você alinha estas retas:
- ω≪0,1: fase ≃ +90° (só o zero de origem).
- ω≈1: somatório ≃ +90° (origem) –90° (polo 2ª ordem) = 0°.
- ω≈10: +90° –135° (polo 2ª ordem em fase média) +45° (zero em 10) = ≃ 0°.
- ω≈100: +90 –180 (polo 2ª) +90 (zero em 10) –45 (polo em 100) ≃ –45°.
- ω≫1000: +90 –180 +90 –90 = –90°.
Resposta
Magnitude assintótica (dB):
- 0,1–1 rad/s: slope +20 dB/déc, atinge –20 dB em ω=1.
- 1–10 rad/s: slope –20 dB/déc, cai até –40 dB em ω=10.
- 10–100 rad/s: slope 0 dB/déc, nível ≃ –40 dB.
-
100 rad/s: slope –20 dB/déc.
Fase assintótica (graus):
- ω≪0,1: +90°.
- ω≈1: fase passa por 0°.
- ω≈10: perto de 0°.
- ω≈100: cerca de –45°.
- ω≫1000: estabiliza em –90°.