Considere o sistema
S: x^2+y^2 & =34 -x^2+y^2 & =16
O sistema S não é linear! Mas, utilizando uma mudança de variáveis, podemos resolver o sistema não linear S utilizando soluções de um sistema linear. Para tanto, faça a mudança de variáveis u=x^2 e v=y^2 e resolva o sistema linear correspondente. A seguir, encontre as soluções do sistema não linear S

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício apresenta um sistema de equações não linear:
S: x^2+y^2 & =34 -x^2+y^2 & =16
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas de equações e mudanças de variáveis para transformar um sistema não linear em linear. Para resolver, a gente vai precisar fazer uma substituição simples: definir e . Assim, transformamos o sistema original em um sistema linear, que é mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variáveis que a gente discutiu. Definimos:
u = x^2 v = y^2
Agora, substituímos u + v & = 34 - u + v & = 16 por e por nas equações do sistema . Assim, nosso sistema fica:

Passo 3

Agora, temos um sistema linear em termos de u + v & = 34 (1) - u + v & = 16 (2) e :
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é somar as duas equações para eliminar .

Passo 4

Somando as equa�es (1) e (2):
(u + v) + (-u + v) = 34 + 16 u - u + v + v = 50 0 + 2v = 50 2v = 50
Dividindo ambos os lados por 2:
v = 25

Passo 5

Agora que encontramos u + v = 34 u + 25 = 34 u = 34 - 25 u = 9 , vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar . Vamos usar a equação (1):

Passo 6

Então, encontramos que:
u = 9 v = 25
Lembrando que e , vamos agora voltar para as variáveis originais.

Passo 7

Substituindo x^2 = 9 y^2 = 25 e x = pmraiz9 = pm3 y = pmraiz25 = pm5 :
Para encontrar e , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

As soluções do sistema não linear (x, y) = (3, 5), (3, -5), (-3, 5), (-3, -5) são:

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