Seja
uma matriz
cujos autovalores são 9 e -8 associados, respectivamente, a
e
.
Defina
. A inversa de
pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Defina
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz
de dimensão
que tem dois autovalores, 9 e -8, associados aos vetores próprios
e
respectivamente. A gente precisa encontrar a inversa de
usando esses vetores próprios. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, lembrar que se uma matriz
é diagonalizável, ela pode ser escrita como
, onde:
-
é a matriz cujas colunas são os autovetores de (no caso, e ), -
é uma matriz diagonal com os autovalores de na diagonal, -
é a inversa de .
Aqui,
seria:
Passo 3
Para achar a inversa de
, ou seja,
, vamos usar a propriedade de que:
Isso porque a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, e a inversa de uma matriz diagonal é a matriz com os inversos dos elementos da diagonal.
Passo 4
Agora, calculando
:
Note que o inverso de 9 é
e o inverso de -8 é
.
Passo 5
Então, substituindo de volta na expressão da inversa:
Isso nos mostra exatamente como a inversa de
é construída a partir dos autovalores e dos vetores próprios.
Resposta
A resposta correta é a alternativa (A):