Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são 9 e -8 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M[rr19 & 0 0 & -18] M^-1
(B) A^-1=M[rr9 & 0 0 & -8] M^-1
© A^-1=M[rr-9 & 0 0 & 8] M^-1
(D) A^-1=M^-1[rr19 & 0 0 & -18] M
(E) A^-1=M^-1[rr-9 & 0 0 & 8] M
(F) A^-1=M^-1[rr9 & 0 0 & -8] M
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz de dimensão que tem dois autovalores, 9 e -8, associados aos vetores próprios e respectivamente. A gente precisa encontrar a inversa de usando esses vetores próprios. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembrar que se uma matriz D = 9 & 0 0 & -8 é diagonalizável, ela pode ser escrita como , onde:
  • é a matriz cujas colunas são os autovetores de (no caso, e ),
  • é uma matriz diagonal com os autovalores de na diagonal,
  • é a inversa de .
Aqui, seria:

Passo 3

Para achar a inversa de A^-1 = (M D M^-1)^-1 = M D^-1 M^-1 , ou seja, , vamos usar a propriedade de que:
Isso porque a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, e a inversa de uma matriz diagonal é a matriz com os inversos dos elementos da diagonal.

Passo 4

Agora, calculando D^-1 = 19 & 0 0 & -18 :
Note que o inverso de 9 é e o inverso de -8 é .

Passo 5

Então, substituindo de volta na expressão da inversa:
A^-1 = M 19 & 0 0 & -18 M^-1
Isso nos mostra exatamente como a inversa de é construída a partir dos autovalores e dos vetores próprios.

Resposta

A resposta correta é a alternativa (A):
A^-1=M 19 & 0 0 & -18 M^-1

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