Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr 2 & 0 & 0 & -7 & 7 & 4 & 5 & -4 4 & 2 & 1 & -3 & 1 & 7 & 2 & 4 5 & 0 & 2 & -2 & -2 & 7 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & -7 & -7 & -5 0 & 0 & 0 & -4 & -7 & -5 & -2 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -36 & 9 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 4 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)
(B) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)^2
© pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)(4-lambda)
(D) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)
(E) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)^2
(F) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)^2
(G) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)(-2-lambda)
(H) pc^A(lambda)=(2-lambda)^2(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)^2
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz dada. O conteúdo principal aqui é álgebra linear, especificamente o cálculo de autovalores através do polinômio característico. Para resolver isso, vamos usar a estrutura em blocos da matriz, que facilita bastante o nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, dá uma olhada na matriz . Ela é uma matriz , mas perceba que ela tem uma estrutura especial: os elementos abaixo da sexta coluna são todos zeros a partir da sexta linha. Isso significa que a matriz pode ser dividida em dois blocos principais:
  1. Bloco Superior Esquerdo (5x5): Contém as primeiras 5 linhas e 5 colunas.
  2. Bloco Inferior Direito (3x3): Contém as últimas 3 linhas e últimas 3 colunas.
Essa divisão é super útil porque o polinômio característico de uma matriz blocada dessa forma é o produto dos polinômios característicos de cada bloco.

Passo 3

Vamos calcular o polinômio característico de cada bloco separadamente.

Bloco Superior Esquerdo (5x5)

Olha esse bloco:
2 & 0 & 0 & -7 & 7 4 & 2 & 1 & -3 & 1 5 & 0 & 2 & -2 & -2 0 & 0 & 0 & -3 & 1 0 & 0 & 0 & -4 & -7
Esse bloco é uma matriz triangular superior (ou quase triangular), pois os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Nessa situação, o polinômio característico é simplesmente o produto de (2 - lambda)^3 (-3 - lambda)(-7 - lambda) . Então, os valores na diagonal são 2, 2, 2, -3, -7.
Portanto, o polinômio característico desse bloco é:
-3 & 1 & 0 -36 & 9 & 0 3 & 1 & 4

Bloco Inferior Direito (3x3)

Agora, olha esse bloco:
(-3 - lambda)^2 (4 - lambda)
Esse bloco também pode ser simplificado. Perceba que a última coluna tem zeros, então podemos calcular o determinante expandindo por essa coluna. Fazendo isso, encontramos os autovalores desse bloco, que são -3 com multiplicidade 2 e 4 com multiplicidade 1.
Então, o polinômio característico desse bloco é:

Passo 4

Agora, como a matriz pc^A(lambda) = (2 - lambda)^3 (-3 - lambda)(-7 - lambda) times (-3 - lambda)^2 (4 - lambda) é bloqueada de forma que os blocos não interagem (ou seja, não há termos mistos entre eles), o polinômio característico total de pc^A(lambda) = (2 - lambda)^3 (-3 - lambda)^3 (-7 - lambda)(4 - lambda) é o produto dos polinômios característicos de cada bloco.
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

A resposta correta é a opção (G):
pc^A(lambda) = (-4 - lambda)^3(-3 - lambda)^3(5 - lambda)(-2 - lambda)

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