Considere um sistema de segunda ordem com a seguinte função de transferência:
G(s)=9s^2+6 s+9
A partir da análise de estabilidade e de desempenho, afirma-se que G(s) é
(A) estável, com a frequência natural amortecida igual a 6, e o sistema é subamortecido.
(B) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 1, e o sistema é criticamente amortecido.
© estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 3, e o sistema é superamortecido.
(D) instável, com a frequência natural não amortecida igual a 3, e o sistema é subamortecido.
(E) instável, com frequência natural não amortecida igual a 6, e o sistema é criticamente amortecido.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos um sistema de segunda ordem com função de transferência
G(s)=9s^2+6s+9
Ele quer que a gente avalie se é estável ou não e descubra a frequência natural não amortecida s^2 + 2zetaomegan,s + omegan^2 e o coeficiente de amortecimento , para então classificar o sistema (subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido).
Pra resolver, a gente vai comparar esse denominador com a forma padrão
e daí achar e .

Passo 2

Vamos igualar os coeficientes do denominador ao padrão:
Denominador dado:
Forma padrão:
Logo:

Passo 3

Da equação omegan = raiz9 = 3;, tiramos
2zeta,(3) = 6 Longrightarrow zeta = 62cdot3 = 1;
Agora, usando :
$$2\zeta,(3) = 6
\quad\Longrightarrow\quad
\zeta = \frac{6}{2\cdot3} = 1;.$$

Passo 4

Com e :
  • significa amortecimento crítico (critic spot).
  • As raízes do denominador são (dupla), ou seja, negativas.
    Quando todas as raízes têm parte real negativa, o sistema é estável.

Resposta

Alternativa (B): estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 1, e o sistema é criticamente amortecido.

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