Um sistema de 2^ å å ordem é dado pela sua função de transferência G(s)=64s^2+8 s+64. Sabe-se que o tempo de subida, medido sobre a curva de resposta ao degrau aplicado nesse sistema, é dado por TR=pi-phiomegan raiz1-varsigma^2, onde
  • varsigma=cos (phi) é a razão de amortecimento; e
  • omegan é a frequência natural não amortecida.
    Para discretizar esse sistema e aplicar um controle digital, o periodo de amostragem deve ser tal que ocorram 10 amostras durante o tempo de subida. O valor aproximado desse período é
    (A) pi10 raiz3
    (B) pi raiz3180
    © pi100
    (D) 2 pi raiz3225
    (E) pi250

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos um sistema de 2ª ordem com função de transferência
G(s)=64s^2+8s+64
e que o tempo de subida ao degrau é
TR=pi-phiomeganraiz1-varsigma^2
onde e é a frequência natural.
Queremos escolher o período de amostragem de forma que caibam 10 amostras dentro desse .
Então vamos precisar:
  • Extrair e da função de transferência.
  • Calcular e .
  • Montar e daí dividir por 10 pra achar .

Passo 2

Primeiro identificamos s^2+8s+64com s^2+2varsigmaomegan s+omegan^2 e comparando
Logo:
,
e .

Passo 3

Como phi=arccos(0,5)=pi3, temos
raiz1-varsigma^2=raiz1-0,5^2=raiz0,75=raiz32
E ainda

Passo 4

Agora monta o tempo de subida:
TR =pi-phiomeganraiz1-varsigma^2 =pi-tfracpi38cdotraiz32 =tfrac2pi34raiz3 =pi6raiz3
Racionalizando (multiplicando cima e baixo por TR =piraiz318 ):

Passo 5

Como queremos 10 amostras dentro de Ts=TR10 =piraiz318cdot10 =piraiz3180 , basta dividir:

Resposta

O período de amostragem aproximado é
Ts = piraiz3180

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