Y^prime(s)=2s^3+6 s^2+10 s
a) Esboce a função y(t) e identifique y(0) e y(infty). Explique como obteve as respostas.
b) Apresente a função de transferência em malha fechada. Utilize controlador proporcional ( Kc=3 ).
c) Determine o offset do sistema em malha fechada.

Passo 1

Beleza, então o exercício tá pedindo três coisas sobre um sistema cuja resposta em Laplace (chamaram de Y(s)=2s^3+6s^2+10s, , mas vamos tratar como ) é
Conteúdo: transformada de Laplace, teorema do valor inicial/final, função de transferência em malha fechada com controlador proporcional e cálculo de erro (offset).
O que a gente vai precisar:
  • Teorema do valor inicial e do valor final pra achar e .
  • Montar a função em malha fechada com ganho .
  • Calcular o erro em regime permanente para degrau (offset).

Passo 2

Parte (a): achar y(0^+)=limstoinftys,Y(s) =limstoinftys2s^3+6s^2+10s =limstoinfty2s^2+6s+10 =0 e y(infty)=limsto0s,Y(s) =limsto0s2s^3+6s^2+10s =20+0+10=0,2 e esboçar o degrau.
  1. Valor inicial:
  2. Valor final:
Então a resposta ao degrau começa em 0 e vai para 0,2. Como o termo quadrático tem amortecimento , vai ter um pouquinho de overshoot, mas quase sem oscilação.

Passo 3

Parte (b): função de transferência em malha fechada com G(s)=Y(s)R(s)=2s(s^2+6s+10) .
A planta é
T(s)=Kc,G(s)1+Kc,G(s) =3cdot2s(s^2+6s+10)1+3cdot2s(s^2+6s+10) =6s(s^2+6s+10)+6
Com o controlador proporcional , o laço fechado é

Passo 4

Parte ©: offset (erro em regime permanente) para entrada degrau unitário.
O sistema em malha aberta é tipo 1 (tem um polo em zero), então o erro para degrau é
einfty=11+Kp, Kp=limsto0Kc,G(s)=limsto06s(s^2+6s+10)=infty
Logo .

Resposta

, .
.
Offset em malha fechada: zero.

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