Pede-se:
(g) Quais as vantagens e desvantagens você vê em utilizar o observador de ordem mínima ao invés do observador de ordem completa?
Dica: A inversa de uma matriz pode ser calculada como sua adjunta dividida por seu determinante. Para uma matriz 2 times 2 a adjunta pode ser calculada permutando os elementos da diagonal principal e invertendo o sinal dos elementos fora da diagonal principal.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá perguntando sobre observador de ordem mínima versus observador de ordem completa, no contexto do sistema discreto
x(k+1)=G,x(k)+H,u(k), y(k)=C,x(k),
com n=3 estados e p=1 saída. O conteúdo é “teoria de observadores” (engenharia de controle), e vamos precisar entender:
O que é um observador de ordem completa;
O que é um observador de ordem mínima;
Vantagens e desvantagens de cada um.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar: um observador é um esquema que estima os estados x(k) do sistema só olhando a saída y(k) e a entrada u(k).
No observador de ordem completa, a gente constrói um estimador de dimensão igual a n (a mesma dos estados). A dinâmica dele é
hat x(k+1)=G,hat x(k)+H,u(k)+L(y(k)-C,hat x(k)),
onde LinR^ntimes p é o ganho de observador, projetado pra fazer o erro de estimativa tilde x = x-hat x convergir a zero.
Passo 3
Já o observador de ordem mínima explora que parte das variáveis já é medida diretamente (no nosso caso, y=Cx dá 1 combinação dos estados). Então a gente só precisa estimar os estados “não medidos” (a ordem cai pra n-p).
Para o nosso exemplo:
n=3 estados;
p=1 saída medida;
logo a ordem mínima do observador é 3-1=2.
A construção envolve particionar o sistema em variáveis diretas (ligadas a y) e indiretas, e aí montar um estimador de dimensão 2 que usa a saída e a inversa (ou adjunta) de uma submatriz 2times2 de G ou algo equivalente.
Passo 4
Agora sim, vamos comparar:
Vantagens do observador de ordem mínima:
Menos equações pra integrar (só n-p em vez de n), então processamento computacional menor;
Menor custo de armazenamento e cálculo de matrizes (inversão de tamanho menor, no máximo 2times2 no nosso caso);
Em sistemas rápidos ou com hardware limitado, é mais leve e mais rápido.
Desvantagens do observador de ordem mínima:
Projeto mais “enrolado”: você precisa particionar variáveis e cuidar de inversões/adjuntas de submatrizes;
Se a saída mudar ou se o sistema for reconfigurado (por exemplo, adiciona outra saída), tem que refazer todo o particionamento;
Mais chance de erro humano no desenho do particionamento e na conta das inversas, comparado ao observador de ordem completa que é mais “direto” (exporta L com uma só fórmula de lugar de pólos, por exemplo).
Resposta
Vantagens do observador de ordem mínima sobre o de ordem completa:
Menor número de estados estimados (n-p em vez de n), reduzindo processamento e memória;
Inversão de matrizes de dimensão menor (no nosso caso 2times2), mais barato computacionalmente;
Ideal para sistemas embarcados ou de alta velocidade.
Desvantagens:
Projeto mais trabalhoso (é preciso particionar o sistema e usar adjunta/determinante de submatrizes);
Menos flexível a mudanças (se mudar a saída, tem que redesenhar tudo);
Maior probabilidade de erro humano no particionamento e nos cálculos manuais.