Considere o sistema
x(k+1) & =G x(k)+H u(k) y(k) & =C x(k)
sendo
G=[ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -0.5 & -0.2 & 1.1 ], H=[l 0 0 1 ], C=[lll 1 & 0 & 0 ]
Pede-se:
(g) Quais as vantagens e desvantagens você vê em utilizar o observador de ordem mínima ao invés do observador de ordem completa?
Dica: A inversa de uma matriz pode ser calculada como sua adjunta dividida por seu determinante. Para uma matriz 2 times 2 a adjunta pode ser calculada permutando os elementos da diagonal principal e invertendo o sinal dos elementos fora da diagonal principal.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá perguntando sobre observador de ordem mínima versus observador de ordem completa, no contexto do sistema discreto
x(k+1)=G,x(k)+H,u(k), y(k)=C,x(k),
com n=3 estados e p=1 saída. O conteúdo é “teoria de observadores” (engenharia de controle), e vamos precisar entender:
  1. O que é um observador de ordem completa;
  2. O que é um observador de ordem mínima;
  3. Vantagens e desvantagens de cada um.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar: um observador é um esquema que estima os estados x(k) do sistema só olhando a saída y(k) e a entrada u(k).
No observador de ordem completa, a gente constrói um estimador de dimensão igual a n (a mesma dos estados). A dinâmica dele é
hat x(k+1)=G,hat x(k)+H,u(k)+L(y(k)-C,hat x(k)),
onde LinR^ntimes p é o ganho de observador, projetado pra fazer o erro de estimativa tilde x = x-hat x convergir a zero.

Passo 3

Já o observador de ordem mínima explora que parte das variáveis já é medida diretamente (no nosso caso, y=Cx dá 1 combinação dos estados). Então a gente só precisa estimar os estados “não medidos” (a ordem cai pra n-p).
Para o nosso exemplo:
  • n=3 estados;
  • p=1 saída medida;
    logo a ordem mínima do observador é 3-1=2.
A construção envolve particionar o sistema em variáveis diretas (ligadas a y) e indiretas, e aí montar um estimador de dimensão 2 que usa a saída e a inversa (ou adjunta) de uma submatriz 2times2 de G ou algo equivalente.

Passo 4

Agora sim, vamos comparar:
Vantagens do observador de ordem mínima:
  1. Menos equações pra integrar (só n-p em vez de n), então processamento computacional menor;
  2. Menor custo de armazenamento e cálculo de matrizes (inversão de tamanho menor, no máximo 2times2 no nosso caso);
  3. Em sistemas rápidos ou com hardware limitado, é mais leve e mais rápido.
Desvantagens do observador de ordem mínima:
  1. Projeto mais “enrolado”: você precisa particionar variáveis e cuidar de inversões/adjuntas de submatrizes;
  2. Se a saída mudar ou se o sistema for reconfigurado (por exemplo, adiciona outra saída), tem que refazer todo o particionamento;
  3. Mais chance de erro humano no desenho do particionamento e na conta das inversas, comparado ao observador de ordem completa que é mais “direto” (exporta L com uma só fórmula de lugar de pólos, por exemplo).

Resposta

Vantagens do observador de ordem mínima sobre o de ordem completa:
  • Menor número de estados estimados ( n-p em vez de n), reduzindo processamento e memória;
  • Inversão de matrizes de dimensão menor (no nosso caso 2times2), mais barato computacionalmente;
  • Ideal para sistemas embarcados ou de alta velocidade.
Desvantagens:
  • Projeto mais trabalhoso (é preciso particionar o sistema e usar adjunta/determinante de submatrizes);
  • Menos flexível a mudanças (se mudar a saída, tem que redesenhar tudo);
  • Maior probabilidade de erro humano no particionamento e nos cálculos manuais.

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