Considere o sistema
x(k+1) & =G x(k)+H u(k) y(k) & =C x(k)
sendo
G=[ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -0.5 & -0.2 & 1.1 ], H=[l 0 0 1 ], C=[lll 1 & 0 & 0 ]
Pede-se:
© Supondo que somente a saída y(k) é medida e disponível para realimentação, calcular a matriz de ganho Ke para um observador de ordem completa tal que a resposta para o observador seja uma resposta deadbeat.
Resposta: Ke=[lll1 & 1.1 & 1.01]^T

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema no espaço de estados
x(k+1) = G,x(k) + H,u(k) y(k) = C,x(k)
com
G=0&1&00&0&1-0.5&-0.2&1.1, H=001, C=1&0&0
O que a gente quer no item © é projetar um observador de ordem completa (ou seja, estimativa ) usando só a saída , de forma que o erro de observação tenha resposta deadbeat (todos os polos na origem, ou seja, o polinômio característico do erro seja ).
Para isso vamos precisar de:
  1. Escrever a dinâmica do erro .
  2. Calcular o polinômio característico de .
  3. Escolher de modo que esse polinômio fique igual a .

Passo 2

Dinâmica do erro:
hat x(k+1)=G,hat x(k)+H,u(k)+Kel[y(k)-C,hat x(k)r]
logo
e(k+1);=;x(k+1)-hat x(k+1) ;=;(G-Ke,C),e(k)
Queremos todos os polos de detl(zI - (G-KeC)r);=;z^3 em zero, ou seja, seu polinômio característico deve ser
Ke=k1k2k3,
Supondo
vamos achar igualando coeficientes do polinômio de ao de .

Passo 3

  1. Escreve-se G - KeC = G - k1k2k3 1&0&0 = -k1 & 1 & 0 -k2 & 0 & 1 -0.5-k3 & -0.2 & 1.1 : z^3 ;+;(k1-1.1),z^2 ;+;(-1.1,k1 +0.2 +k2),z ;+;(0.2,k1 -1.1,k2 +0.5 +k3)
  2. Calcula-se k1 ;-;1.1 ;=;0, -1.1,k1 +0.2 +k2 ;=;0, 0.2,k1 -1.1,k2 +0.5 +k3 ;=;0 . Se você fizer a expansão, chega a
  3. Exigindo que esse polinômio seja igual a , impomos os coeficientes das potências menores a zero: Resolvendo esse sistema

Resposta

Ke ;=; 1 1.1 1.01 ,
que é exatamente o ganho que coloca todos os polos do observador na origem (deadbeat).

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