Considere o sistema
x(k+1) & =G x(k)+H u(k) y(k) & =C x(k)
sendo
G=[ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -0.5 & -0.2 & 1.1 ], H=[l 0 0 1 ], C=[lll 1 & 0 & 0 ]
Pede-se:
(e) Qual será a equação de estado do sistema em malha fechada utilizando a realimentação do estado observado?

Passo 1

Beleza, a questão quer que a gente monte a equação de estado do sistema discreto em malha fechada quando usamos realimentação do estado observado. Isso é teoria de controle em espaço de estados: a gente tem
x(k+1)=G,x(k)+H,u(k), y(k)=C,x(k),
e constrói um observador para estimar x(k) (chamamos essa estimativa de hat x(k)) e daí usa essa estimativa na lei de controle u(k)=-K,hat x(k). O que precisamos:
  1. A equação do observador;
  2. A lei de controle;
  3. Substituir e juntar tudo numa forma de estado aumentado, tipo
xhat x(k+1)=dots,xhat x(k)

Passo 2

Primeiro, o observador Luenberger é um sistema que gera hat x(k) a partir de u(k) e y(k):
hat x(k+1)=G,hat x(k)+H,u(k)+Ll(y(k)-C,hat x(k)r)
Aqui o ganho L serve para corrigir o erro de estimativa y-Chat x e fazer hat xto x ao longo do tempo.

Passo 3

A lei de realimentação de estado observado é
u(k)=-K,hat x(k),
onde K é o ganho de controle que a gente escolher (por exemplo, colocado pelos autovalores que queremos para a parte de controle).

Passo 4

Agora, substituir u(k) na equação real do sistema:
x(k+1)=G,x(k)+H,l(-K,hat x(k)r) =G,x(k);-;H,K,hat x(k)

Passo 5

Substituir u(k) e y(k)=C,x(k) na equação do observador:
hat x(k+1) =G,hat x(k)+H,l(-K,hat x(k)r) +Ll(C,x(k)-C,hat x(k)r)
Juntando termos em hat x(k) e x(k):
hat x(k+1) =l(G - H,K - L,Cr),hat x(k) ;+;L,C,x(k)

Passo 6

Finalmente a gente agrupa x e hat x num vetor único:
$$
\underbrace{ underbracex(k+1)[6pt]hat x(k+1)estado aumentado = underbrace G & -H,K [4pt] L,C & G - H,K - L,C Acl ;underbracex(k)[6pt]hat x(k)estado aumentado }_{estado aumentado}

\underbrace{ }{\displaystyle A{cl}}
;\underbrace{ }_{estado aumentado}
$$

Resposta

A equação de estado em malha fechada com realimentação do estado observado é
$$
x(k+1)[6pt]hat x(k+1) = G & -H,K [4pt] L,C & G - H,K - L,C x(k)[6pt]hat x(k)

.
$$

Exercícios relacionados