Considere o sistema
x(k+1) & =G x(k)+H u(k) y(k) & =C x(k)
sendo
G=[ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -0.5 & -0.2 & 1.1 ], H=[l 0 0 1 ], C=[lll 1 & 0 & 0 ]
Pede-se:
(a) Determinar a matriz de ganho de realimentação K tal que o sistema exiba uma resposta deadbeat a qualquer estado inicial. Assuma que o estado é totalmente mensurável, tal que o estado real x(k) pode ser realimentado na forma:
u(k)=-K x(k)
Resposta: K=[lll-0.5 & -0.2 & 1.1]

Passo 1

O enunciado pede pra gente desenrolar um sistema discreto
x(k+1)=G,x(k)+H,u(k), y(k)=C,x(k)
com
G=0&1&00&0&1-0.5&-0.2&1.1,; H=001,; C=1&0&0,
e achar um ganho de realimentação tal que a resposta seja deadbeat (todos os polos em zero).
Conteúdo envolvido: realimentação estatal, controlabilidade, colocação de polos, polinômio característico. Vamos precisar verificar controlabilidade, achar o polinômio aberto, definir o polinômio desejado (tudo em zero) e igualar coeficientes pra extrair .

Passo 2

Verificar controlabilidade. Montamos a matriz de controlabilidade
C = [,H,;G,H,;G^2H,]
Como estão em forma canônica de controle (aquela de companheiro), já sabemos que . Ou seja, é totalmente controlável e podemos escolher livremente os polos.

Passo 3

Achar o polinômio característico aberto de det(lambda I - G) =det!lambda&-1&00&lambda&-10.5&0.2&lambda-1.1 =lambda^3-1.1lambda^2+0.2lambda+0.5 . Calculamos

Passo 4

Polinômio desejado para deadbeat: todos os polos em zero significa
lambda^3=0 Long<=ftrightarrow lambda^3+0lambda^2+0lambda+0=0
Então os coeficientes desejados são .

Passo 5

No caso de forma canônica de controle, se o polinômio aberto é
lambda^3 + a2lambda^2 + a1lambda + a0
e o desejado é
lambda^3 + alpha2lambda^2 + alpha1lambda + alpha0,
então o vetor de ganho antes do sinal é
Kantes = [,a0-alpha0,;a1-alpha1,;a2-alpha2,]
Aqui Kantes=[,0.5,;0.2,;-1.1,] e todos K = -,Kantes = [-0.5,;-0.2,;1.1] , logo
Mas como a lei é , nosso final é o negativo disso:

Resposta

boxedK = -0.5 & -0.2 & 1.1

Exercícios relacionados