- Plote qualitativamente as respostas das seguintes funções de transferências, assuma que a entrada seja um degrau unitário.
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência da planta e pede para plotar qualitativamente a resposta ao degrau unitário:
entrada
é um degrau unitário (transformada
). O que precisa ser obtido: a expressão temporal
da saída para
e, com isso, um desenho qualitativo (comportamento inicial, transiente, comportamento para
, assimptota, etc.). Informação dada importante: polos em
e zero em
.
Passo 2
Escrevendo a saída no domínio de Laplace:
Vou inverter
usando frações parciais para obter
. Explico como e por quê: decompor em termos simples cujas inversas de Laplace são conhecidas (constante,
, e exponenciais).
Passo 3
Posso procurar uma decomposição do tipo
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade em
:
Para encontrar
uso os valores de
que anulam fatores e, se necessário, um valor adicional.
Passo 4
Calculo dos coeficientes por substituição direta:
- Para
:
- Para
:
(porque
anula termos com
.)
- Para
:
- Para
uso um valor conveniente, por exemplo . Substituindo na identidade:
Com
temos
,
,
. Assim
Passo 5
Agora escrevo a decomposição encontrada:
Inversas de Laplace conhecidas:
-
(degrau), -
, -
.
Portanto, para
:
Passo 6
Verificações úteis (teoremas do valor inicial/final e interpretação física):
- Valor inicial pela expressão direta:
Logo a saída inicia em zero.
- Derivada inicial (para entender o slope inicial):
Em
:
Portanto a inclinação inicial é zero.
- Concavidade inicial:
Em
:
logo inicialmente a curva é côncava para cima (curvatura positiva).
- Comportamento para
: os termos exponenciais se anulam e sobra a parte polinomial
Isto mostra que a saída cresce sem limite (tende a uma rampa de inclinação
). O teorema do valor final não se aplica para um limite finito (saída divergente).
Passo 7
Interpretação física e instrução para o esboço qualitativo:
- A saída começa em
com inclinação inicial . - Logo após, a resposta fica côncava para cima e cresce, aproximando-se de uma rampa de inclinação
. - A assimptota de longo prazo é a reta
e a resposta aproxima essa reta por baixo (a diferença inicial para a assimptota é pequena e negativa:
).
- Não há oscilação nem sobrepasso: os termos exponenciais têm sinais que produzem um ajuste monótono (sem ciclo) em torno da assimptota.
Passo 8
Como desenhar qualitativamente (passo a passo no papel):
- Marque
e . - Desenhe a reta assimptótica de longo prazo com inclinação
e intercepto (p.ex. para a reta vale , para vale , etc.). - Faça a curva partir de
, com inclinação inicial , curvando para cima e aproximando-se da reta assimptótica por baixo, sem cruzá-la (aproximação monotônica à medida que os termos exponenciais decaem). - Não espere que a saída se estabilize em valor finito: para
grande a saída cresce praticamente linearmente com a inclinção indicada.
Resposta
Início:
,
.
Assimptota de longo prazo: (a resposta cresce indefinidamente, aproximando-se dessa rampa por baixo).
Assimptota de longo prazo: