Defina a distância de Hausdorff entre dois subconjuntos limitados e mostre que é uma métrica.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: definir a distância de Hausdorff entre dois subconjuntos limitados e mostrar que essa definição produz uma métrica. Para que tudo fique bem definido e para que a identidade dos indiscerníveis funcione sem complicação técnica, vou trabalhar no contexto padrão:
  • Seja (X,d) um espaço métrico qualquer.
  • Considere conjuntos não vazios e compactos A,B\subset X. (Compactos implicam limitados e fechados, o que nos evita problemas com supremos ou pontos-limite.)
O que será entregue:
  • A definição de d(x,B) e da distância de Hausdorff h(A,B).
  • A verificação das quatro propriedades de métrica: (i) não-negatividade, (ii) identidade dos indiscerníveis, (iii) simetria, (iv) desigualdade triangular.
    Nada será assumido do teu conhecimento: vou explicar cada conceito usado (infimum, supremum, por que usam compacidade, etc.) passo a passo.

Passo 2

Definição auxiliar: distância de um ponto a um conjunto.
Para x\in X e B\subset X não vazio, define-se
d(x,B)=\inf_{b\in B} d(x,b).
Explicando devagar:
  • \inf_{b\in B} d(x,b) significa o menor valor “possível” que d(x,b) pode se aproximar quando b varia em B. Pode não existir um b que atinja exatamente esse valor, mas existe uma sequência b_n\in B com d(x,b_n)\to d(x,B).
  • Como d(\cdot,\cdot)\ge 0, sempre d(x,B)\ge 0.
  • Se B for compacto, a função b\mapsto d(x,b) é contínua em B e atinge mínimo. Assim, para conjuntos compactos, o \inf é na verdade um \min e existe b\in B com d(x,B)=d(x,b).
Intuição: d(x,B) é “a menor distância de x a algum ponto de B”.

Passo 3

Definição da distância de Hausdorff.
Para conjuntos não vazios e compactos A,B\subset X define-se
h(A,B)=\max\Big\{\sup_{a\in A} d(a,B),\;\sup_{b\in B} d(b,A)\Big\}.
Explicando as peças:
  • \sup_{a\in A} d(a,B) é o maior valor, entre todos os pontos a\in A, da distância de a ao conjunto B. Como A e B são limitados, existe um número M tal que d(a,b)\le M para todo a\in A, b\in B; portanto d(a,B)\le M e o supremo é finito.
  • O uso do \max simetricamente garante que a distância considere quão longe A está de B e vice-versa.
  • Observação: se trabalhássemos apenas com conjuntos limitados mas não fechados, poderíamos ter h(A,B)=0 mesmo quando A\ne B (por exemplo, conjuntos com a mesma fecho). Por isso é comum declarar o espaço onde h é métrica como o conjunto das partes compactas não vazias \mathcal{K}(X).
Vou agora verificar as propriedades de métrica para a função h definida acima.

Passo 4

Não-negatividade e simetria (propriedades diretas).
  • Não-negatividade: para qualquer A,B temos \sup_{a\in A} d(a,B)\ge 0 e \sup_{b\in B} d(b,A)\ge 0, logo
h(A,B)\ge 0.
  • Simetria: pela definição do \max com os dois supremos trocados, fica claro que
h(A,B)=\max\{\sup_{a\in A} d(a,B),\sup_{b\in B} d(b,A)\}=\;h(B,A).
Portanto a propriedade h(A,B)=h(B,A) vale.
Nada difícil até aqui — só cuidar que os supremos existem e são finitos (garantido por compacidade/limitabilidade).

Passo 5

Identidade dos indiscerníveis: h(A,B)=0 implica A=B (e o recíproco óbvio).
Queremos provar: se h(A,B)=0 então A=B.
  • h(A,B)=0 implica, em particular, \sup_{a\in A} d(a,B)=0. Como o supremo de uma família de números não negativos é zero, cada membro dessa família deve ser zero; isto é, para todo a\in A
d(a,B)=0.
  • Lembre que d(a,B)=0 significa \inf_{b\in B} d(a,b)=0, ou seja, existem pontos de B arbitrariamente próximos de a. Portanto a pertence à fecho de B, denotada \overline{B}.
  • Como B é compacto, ele é fechado, então \overline{B}=B. Logo cada a\in A pertence a B: A\subset B.
  • Pelo mesmo argumento trocando A e B (pois h é simétrica), obtemos B\subset A.
Conclui-se A=B.
O recíproco é trivial: se A=B então claramente \sup_{a\in A} d(a,B)=0 e \sup_{b\in B} d(b,A)=0, logo h(A,B)=0.
Assim, a identidade dos indiscerníveis está provada no espaço \mathcal{K}(X) das partes compactas não vazias.

Passo 6

Desigualdade triangular: provar que para conjuntos compactos A,B,C\subset X vale
h(A,C)\le h(A,B)+h(B,C).
Estratégia: primeiro mostrar uma desigualdade útil ponto-a-conjunto e depois tomar supremos.
Fixe a\in A. Para qualquer \varepsilon>0 existe b\in B tal que
d(a,b)\le d(a,B)+\varepsilon
porque d(a,B)=\inf_{b\in B} d(a,b) (infimum pode ser aproximado arbitrariamente). Agora, para esse b,
d(a,C)\le d(a,b)+d(b,C).
Isto é apenas a desigualdade triangular do espaço (X,d) aplicada a a,b e algum ponto de C; como d(b,C) é a menor distância de b a C, vale a forma acima. Substituindo a estimativa para d(a,b) obtemos
d(a,C)\le d(a,B)+\varepsilon + d(b,C).
Como d(b,C)\le \sup_{b'\in B} d(b',C), segue
d(a,C)\le d(a,B)+\varepsilon + \sup_{b'\in B} d(b',C).
Tirando \varepsilon\to 0 (ou observando que \varepsilon era arbitrário), concluímos
d(a,C)\le d(a,B) + \sup_{b\in B} d(b,C).
Agora tomamos supremo sobre a\in A do lado esquerdo e direito:
\sup_{a\in A} d(a,C) \le \sup_{a\in A} d(a,B) + \sup_{b\in B} d(b,C).
Repare que isso demonstra uma desigualdade direcionada entre os dois supremos. Fazendo o mesmo com A e C trocados (ou repetindo a mesma argumentação trocando nomes), obtemos também
\sup_{c\in C} d(c,A) \le \sup_{c\in C} d(c,B) + \sup_{b\in B} d(b,A).
Agora, lembre que
h(A,C)=\max\{\sup_{a\in A} d(a,C),\;\sup_{c\in C} d(c,A)\}.
Usando as desigualdades obtidas,
\sup_{a\in A} d(a,C) \le \sup_{a\in A} d(a,B) + \sup_{b\in B} d(b,C)\le h(A,B)+h(B,C),
e
\sup_{c\in C} d(c,A) \le \sup_{c\in C} d(c,B) + \sup_{b\in B} d(b,A)\le h(C,B)+h(B,A)=h(B,C)+h(A,B).
Tomando o máximo dos dois lados chega-se a
h(A,C)\le h(A,B)+h(B,C).
Isto prova a desigualdade triangular para h.

Passo 7

Conclusão final (resumo e observações didáticas).
  • Verificamos as quatro propriedades necessárias: não-negatividade, simetria, identidade dos indiscerníveis e desigualdade triangular.
  • Assim h é uma métrica no conjunto \mathcal{K}(X) das partes não vazias e compactas de (X,d).
Observação prática e por que escolhemos conjuntos compactos:
  • A compacidade garante que os supremos e mínimos existem quando necessário e que d(a,B)=0 implica a\in B, evitando que h(A,B)=0 apenas signifique que os fechos coincidem. Em contextos mais gerais costuma-se dizer que h é um pseudométrico em conjuntos limitados e que se torna métrica em conjuntos fechados (ou compactos) quando se identifica conjuntos com o mesmo fecho.
Exemplo rápido para fixar a intuição (apenas para consolidar): em (\mathbb{R},|\cdot|), com A=[0,1] e B=[0,2] tem-se
\sup_{a\in A} d(a,B)=0,\qquad \sup_{b\in B} d(b,A)=1,
logo h(A,B)=1. Intuitivamente: todo ponto de A está dentro de B, mas o ponto mais distante de B em relação a A é 2 que está a distância 1 de [0,1].

Resposta

h(A,B)=\max\Big\{\sup_{a\in A} \inf_{b\in B} d(a,b),\;\sup_{b\in B} \inf_{a\in A} d(b,a)\Big\}.
A função h assim definida é uma métrica no espaço \mathcal{K}(X) das partes não vazias e compactas de (X,d).

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