Seja A=L+D+U, onde L e U são as porções estritamente triangular inferior e superior, respectivamente, de A e D é a matriz diagonal coincidente com a diagonal de A. Considere o splitting construído da seguinte forma. Se A \mathbf{x}=\mathbf{b}, então para um parâmetro \omega fixo, \omega A \mathbf{x}=\omega \mathbf{b}, e portanto D \mathbf{x}+\omega A \mathbf{x}=D \mathbf{x}+\omega \mathbf{b}. Substituindo A por (L+D+U), mostre que
(D+\omega L) \mathbf{x}=[(1-\omega) D-\omega U] \mathbf{x}+\omega \mathbf{b}
Com isto, obtenha um método iterativo cuja matriz de iteração é dada por
B=(D+\omega L)^{-1}[(1-\omega) D-\omega U]
Esse método é denominado método de Sobrerrelaxações Sucessivas (SOR). Mostre que para \omega=1, o método SOR torna-se o método de Gauss-Seidel.
Para determinados problemas, a escolha de \omega, tal que 1<\omega<2, acelera bastante a convergência.

Passo 1

O enunciado nos dá a decomposição
A = L + D + U
onde L é a parte estritamente triangular inferior, D é a diagonal de A e U é a parte estritamente triangular superior. Queremos construir um método iterativo do tipo
M\mathbf{x}^{(k+1)} = N\mathbf{x}^{(k)} + \mathbf{c}
de forma que a matriz de iteração seja
B = M^{-1}N = (D+\omega L)^{-1}\bigl[(1-\omega)D - \omega U\bigr].
Além disso, devemos mostrar que, para \omega=1, este método se reduz ao método de Gauss–Seidel.

Passo 2

Partimos do sistema original
A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Multiplicamos ambos os lados por \omega e, em seguida, somamos (1-\omega)D\mathbf{x} a cada membro:
(1-\omega)D\mathbf{x} \;+\;\omega A\mathbf{x} \;=\;(1-\omega)D\mathbf{x} \;+\;\omega\mathbf{b}.
Substituindo A=L+D+U, obtemos
(1-\omega)D\mathbf{x} + \omega\bigl(L+D+U\bigr)\mathbf{x} = (1-\omega)D\mathbf{x} + \omega\mathbf{b}.

Passo 3

Expandindo e coletando termos em D, L e U,
(1-\omega)D\mathbf{x} + \omega L\mathbf{x} + \omega D\mathbf{x} + \omega U\mathbf{x} = (1-\omega)D\mathbf{x} + \omega\mathbf{b}.
Note que (1-\omega)D\mathbf{x} + \omega D\mathbf{x} = D\mathbf{x}. Assim,
D\mathbf{x} + \omega L\mathbf{x} + \omega U\mathbf{x} = (1-\omega)D\mathbf{x} + \omega\mathbf{b}.
Reagrupando para isolar (D+\omega L)\mathbf{x} no lado esquerdo,
(D+\omega L)\mathbf{x} = \bigl[(1-\omega)D - \omega U\bigr]\mathbf{x} + \omega\mathbf{b}.

Passo 4

Da forma acima se identifica o splitting
M = D+\omega L, \qquad N = (1-\omega)D - \omega U, \qquad \mathbf{c} = \omega\,\mathbf{b}.
Isso gera o método iterativo
(D+\omega L)\,\mathbf{x}^{(k+1)} = \bigl[(1-\omega)D - \omega U\bigr]\,\mathbf{x}^{(k)} + \omega\,\mathbf{b},
ou seja,
\mathbf{x}^{(k+1)} = (D+\omega L)^{-1}\bigl[(1-\omega)D - \omega U\bigr]\, \mathbf{x}^{(k)} \;+\; \omega\,(D+\omega L)^{-1}\mathbf{b}.
Dessa forma a matriz de iteração é
B \;=\;(D+\omega L)^{-1}\bigl[(1-\omega)D - \omega U\bigr].

Passo 5

Para \omega=1 temos
D+\omega L = D+L, \qquad (1-\omega)D - \omega U = 0\cdot D - 1\cdot U = -\,U.
Logo
B = (D+L)^{-1}(-U),
e o iterado torna-se
(D+L)\,\mathbf{x}^{(k+1)} = -\,U\,\mathbf{x}^{(k)} + \mathbf{b},
que é exatamente o método de Gauss–Seidel.

Resposta

O método SOR é dado por
(D+\omega L)\,\mathbf{x}^{(k+1)} = \bigl[(1-\omega)D - \omega U\bigr]\,\mathbf{x}^{(k)} + \omega\,\mathbf{b},
cuja matriz de iteração é
B = (D+\omega L)^{-1}\bigl[(1-\omega)D - \omega U\bigr].
Para \omega=1, obtém-se B=(D+L)^{-1}(-U) e a iteração
(D+L)\,\mathbf{x}^{(k+1)} = -\,U\,\mathbf{x}^{(k)} + \mathbf{b},
que coincide com o método de Gauss–Seidel.

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