Seja
, onde
e
são as porções estritamente triangular inferior e superior, respectivamente, de
e
é a matriz diagonal coincidente com a diagonal de
. Considere o splitting construído da seguinte forma. Se
, então para um parâmetro
fixo,
, e portanto
. Substituindo
por
, mostre que
Com isto, obtenha um método iterativo cuja matriz de iteração é dada por
Esse método é denominado método de Sobrerrelaxações Sucessivas (SOR). Mostre que para
, o método SOR torna-se o método de Gauss-Seidel.
Para determinados problemas, a escolha de
, tal que
, acelera bastante a convergência.
Passo 1
O enunciado nos dá a decomposição
onde
é a parte estritamente triangular inferior,
é a diagonal de
e
é a parte estritamente triangular superior. Queremos construir um método iterativo do tipo
de forma que a matriz de iteração seja
Além disso, devemos mostrar que, para
, este método se reduz ao método de Gauss–Seidel.
Passo 2
Partimos do sistema original
Multiplicamos ambos os lados por
e, em seguida, somamos
a cada membro:
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Expandindo e coletando termos em
,
e
,
Note que
. Assim,
Reagrupando para isolar
no lado esquerdo,
Passo 4
Da forma acima se identifica o splitting
Isso gera o método iterativo
ou seja,
Dessa forma a matriz de iteração é
Passo 5
Para
temos
Logo
e o iterado torna-se
que é exatamente o método de Gauss–Seidel.
Resposta
O método SOR é dado por
cuja matriz de iteração é
Para
, obtém-se
e a iteração
que coincide com o método de Gauss–Seidel.