Considere a situação em que aquecemos gelo a -50^{\circ} \mathrm{C} até o vapor à temperatura de 150^{\circ} \mathrm{C}, sob pressão atmosférica ( \mathrm{p}=1 \mathrm{~atm} ). Dados:
\begin{gathered} c_{v}=0,5 \frac{\mathrm{cal}}{g^{\circ} \mathrm{C}} \quad(\text { gelo }) \\\ c_{p}=1 \frac{\mathrm{cal}}{g^{\circ} \mathrm{C}} \quad(\text { água }) \\\ c_{p}=0,5 \frac{\mathrm{cal}}{g^{\circ} \mathrm{C}} \quad(\text { vapor }) \\\ l_{g l}(273 \mathrm{~K})=80 \mathrm{cal} / g^{\circ} \mathrm{C} \\\ l_{g v}(373 \mathrm{~K})=540 \mathrm{cal} / g^{\circ} \mathrm{C} \end{gathered}á
Calcule a variação de entropia para cada etapa do processo (gelo aquecendo, gelo fundindo, água aquecendo, água evaporando e vapor aquecendo).

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia em cada etapa do processo que transforma gelo a -50^\circ \mathrm{C} em vapor a 150^\circ \mathrm{C} à pressão atmosférica ( p=1\\ \mathrm{atm}). As etapas são:
  1. gelo aquecendo de -50^\circ \mathrm{C} até 0^\circ \mathrm{C} (gelo quente, sem fusão);
  2. gelo fundindo a 0^\circ \mathrm{C} ( 273\\ \mathrm{K});
  3. água líquida aquecendo de 0^\circ \mathrm{C} até 100^\circ \mathrm{C} ( 373\\ \mathrm{K});
  4. água evaporando a 100^\circ \mathrm{C};
  5. vapor aquecendo de 100^\circ \mathrm{C} até 150^\circ \mathrm{C} ( 423\\ \mathrm{K}).\n
    Dados fornecidos (por grama):
c_{\text{gelo}}=0{,}5\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\,\mathrm{^\circ C}},\quad c_{\text{água}}=1\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\,\mathrm{^\circ C}},\quad c_{\text{vapor}}=0{,}5\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\,\mathrm{^\circ C}},á
l_{gl}(273\\ \mathrm{K})=80\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}},\quad l_{gv}(373\\ \mathrm{K})=540\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}}.
Observação prática: como os valores de calor específico e calores latentes estão por grama, vou calcular a variação de entropia por grama ( m=1\\ \mathrm{g}). As temperaturas usadas serão em Kelvin: -50^\circ\mathrm{C}=223\\ \mathrm{K}, 0^\circ\mathrm{C}=273\\ \mathrm{K}, 100^\circ\mathrm{C}=373\\ \mathrm{K}, 150^\circ\mathrm{C}=423\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceito e fórmula que usaremos (aulas rápidas): a variação de entropia em um processo reversível é
\Delta S=\int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Para aquecimento a pressão constante com calor específico (assumindo c independente de T), o calor reversível trocado por massa m ao variar a temperatura de T_1 a T_2 é \delta Q_{\text{rev}}=m\,c\,dT. Integrando:
\Delta S = m c \int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}=m c \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Aqui m é a massa (em g), c é o calor específico em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K}) (note que ^\circ\mathrm{C} e K têm a mesma escala de variação), T são temperaturas em Kelvin e \Delta S sai em \mathrm{cal}/\mathrm{K} por grama (se m em g e c em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K})).\n
  • Para uma mudança de fase ocorrendo reversivelmente à temperatura constante T_{\text{fase}} (fusão ou vaporização), a variação de entropia é
\Delta S=\frac{L}{T_{\text{fase}}},
onde L é o calor latente por massa (aqui em \mathrm{cal}/\mathrm{g}) e T_{\text{fase}} em K.

Passo 3

Cálculo 1 — gelo aquecendo de -50^\circ \mathrm{C} ( 223\\ \mathrm{K}) a 0^\circ \mathrm{C} ( 273\\ \mathrm{K}).\n
Use a fórmula para aquecimento:
\Delta S_1 = m c_{\text{gelo}} \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Substituindo m=1\\ \mathrm{g}, c_{\text{gelo}}=0{,}5\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K}), T_1=223\\ \mathrm{K}, T_2=273\\ \mathrm{K}:
\Delta S_1 = 1\cdot 0{,}5 \cdot \ln\!\left(\frac{273}{223}\right).
Calcule a razão e o logaritmo:
\frac{273}{223}\approx 1{,}224215\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{273}{223}\right)\approx 0{,}202818.
Portanto
\Delta S_1 \approx 0{,}5 \times 0{,}202818 = 0{,}101409\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}.

Passo 4

Cálculo 2 — gelo fundindo a 0^\circ \mathrm{C} ( 273\\ \mathrm{K}).\n
Para fusão:
\Delta S_2=\frac{l_{gl}}{T_{\text{fusão}}}=\frac{80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}}{273\\ \mathrm{K}}.ã
Fazendo a divisão:
\Delta S_2 \approx 0{,}293040\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo 3 — água líquida aquecendo de 0^\circ \mathrm{C} ( 273\\ \mathrm{K}) a 100^\circ \mathrm{C} ( 373\\ \mathrm{K}).\n
Usamos a fórmula do aquecimento com c_{\text{água}}=1\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K})á:
\Delta S_3 = 1\cdot 1 \cdot \ln\!\left(\frac{373}{273}\right).
Calcule:
\frac{373}{273}\approx 1{,}366263\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{373}{273}\right)\approx 0{,}311764.
Logo
\Delta S_3 \approx 0{,}311764\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}.

Passo 6

Cálculo 4 — água evaporando a 100^\circ \mathrm{C} ( 373\\ \mathrm{K}).\n
Para vaporização:
\Delta S_4=\frac{l_{gv}}{T_{\text{ebulição}}}=\frac{540\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}}{373\\ \mathrm{K}}.çã
Fazendo a divisão:
\Delta S_4 \approx 1{,}447732\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}.

Passo 7

Cálculo 5 — vapor aquecendo de 100^\circ \mathrm{C} ( 373\\ \mathrm{K}) a 150^\circ \mathrm{C} ( 423\\ \mathrm{K}).\n
Usamos c_{\text{vapor}}=0{,}5\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K}):
\Delta S_5 = 1\cdot 0{,}5 \cdot \ln\!\left(\frac{423}{373}\right).
Calcule:
\frac{423}{373}\approx 1{,}133989\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{423}{373}\right)\approx 0{,}125571.
Então
\Delta S_5 \approx 0{,}5 \times 0{,}125571 = 0{,}062786\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}.

Passo 8

Resumo numérico (por grama) e comentário breve:\n
  • \Delta S_1 (gelo aquecendo de -50^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}): aproximadamente 0{,}1014\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}.
  • \Delta S_2 (fusão a 273\\ \mathrm{K}): aproximadamente 0{,}2930\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}.
  • \Delta S_3 (água aquecendo de 0^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}): aproximadamente 0{,}3118\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}.
  • \Delta S_4 (vaporização a 373\\ \mathrm{K}): aproximadamente 1{,}4477\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}.
  • \Delta S_5 (vapor aquecendo de 100^\circ\mathrm{C} a 150^\circ\mathrm{C}): aproximadamente 0{,}06279\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}.\n
    Se somarmos todas, a variação total de entropia por grama é aproximadamente 2{,}2167\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K} (positivo, como de se esperar para aquecimento + mudanças de fase irreversíveis quando comparado a um processo reversível de aquecimento com trocas de calor a temperaturas mais altas — mas aqui nosso cálculo assumiu cada etapa reversível localmente para definir \Delta S). Força aí — você já tem as fórmulas e o passo a passo; dá pra aplicar isso rápido na prova!

Resposta

\Delta S_1 \approx 0{,}1014\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}
\Delta S_2 \approx 0{,}2930\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}
\Delta S_3 \approx 0{,}3118\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}
\Delta S_4 \approx 1{,}4477\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}
\Delta S_5 \approx 0{,}06279\\ \mathrm{cal}/\mathrm{K}

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