Considere um gás em que
é constante e
, com
constante.
a) Dado que a energia interna de um mol do gás tem a seguinte forma:
sendo
e
constantes, obtenha a equação de estado
do gás.
b) Suponha que esse gás tenha temperatura
e ocupe metade de um recipiente, de volume
, com a outra metade vazia. A parede que prende o gás é rompida e o mesmo passa a ocupar o volume total de forma adiabática. Obtenha a pressão e a temperatura final do gás,
e
, respectivamente.
a) Dado que a energia interna de um mol do gás tem a seguinte forma:
b) Suponha que esse gás tenha temperatura
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Informação 1: O calor específico molar a volume constante é constante:
constante. - Informação 2: A razão entre coeficiente de expansão térmica
e compressibilidade isoterma satisfaz com constante. - Informação 3: A energia interna por mol é
com e constantes.
Perguntas:
a) Obter a equação de estado do gás.
b) O gás inicialmente está à temperatura ocupando metade do recipiente, cuja metade ocupada tem volume
. A outra metade do recipiente está vazia. Rompe-se a parede e o gás expande-se adiabaticamente para ocupar o volume total. Determinar a pressão final
e a temperatura final
.
a) Obter a equação de estado
b) O gás inicialmente está à temperatura
Passo 2
Vamos relacionar a energia interna com a equação de estado. Para qualquer substância pura temos a primeira lei na forma diferencial
Se considerarmos
como função de
e
, escrevemos
Igualando as duas expressões e comparando coeficientes de
e
obtemos, em particular, a identidade
Agora usamos a relação de Maxwell que diz
Substituindo na identidade anterior segue a fórmula importante (que vamos usar):
Vou explicar:
é a variação da energia interna quando mudamos o volume mantendo
; a relação acima conecta isso com a variação de pressão com a temperatura à mesma
. Essa identidade é padrão em termodinâmica e é muito útil para obter a equação de estado quando se conhece
.
Passo 3
Calculemos
usando
. Diferenciando em
com
fixo:
Substituindo na identidade do passo anterior:
Rearranjando para isolar
:
Esta é uma equação diferencial em
(com
atuando como parâmetro).
Passo 4
Resolvemos a equação diferencial ordinária cujo variável é
e
é parâmetro:
Isto é uma EDO linear de primeira ordem em
. O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Integrando em
(a integração pode ter constante que depende de
):
onde
é uma função arbitrária de
. Multiplicando por
:
Interpretação: a equação de estado tem forma linear em
, com um termo
proveniente da parte volumétrica da energia interna e um termo
desconhecido que depende apenas de
.
Passo 5
Agora usamos a informação
para determinar
. Primeiro recordemos as definições:
Para a equação implícita
calculamos as derivadas parciais necessárias:
Usando diferenciação implícita para obter
e
:
Agora formamos
e
:
Tomando a razão
os fatores idênticos se cancelam exatamente:
Portanto
é precisamente a razão
. Mas o enunciado deu
, logo
Passo 6
Substituindo
na forma geral da equação de estado obtemos a equação de estado final:
Colocando em forma
podemos escrever, por exemplo,
Isto responde a letra (a).
Passo 7
Agora tratamos a parte (b). Interpretação do enunciado: inicialmente o gás ocupa metade do recipiente e o volume dessa metade é
; portanto o volume inicial por mol (molar) é
. Ao romper a parede o gás expande para ocupar o volume total, que é o dobro, logo o volume final por mol é
O processo é adiabático e a expansão é para o vácuo (a outra metade estava vazia). Numa expansão livre para o vácuo não há troca de calor (
) e nenhum trabalho externo realizado pelo gás (
) já que
; portanto a variação de energia interna é zero:
Usamos a expressão de
:
Cancelando
e isolando
:
Substituindo
e
obtemos
Passo 8
Finalmente a pressão final
é obtida pela equação de estado avaliada em
e
:
Com
e
do passo anterior podemos deixar
de duas formas equivalentes. Forma direta usando
:
Substituindo
e simplificando fornece a forma explícita