Considere sobre \mathbb{R} a métrica definida por \alpha(x, y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}. Prove que:
(a) Se \varepsilon \geq 1, então B(p, \varepsilon)=\mathbb{R};
(b) Se \varepsilon<1, então B(p, \varepsilon)=] p-\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}, p+\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}[.

Passo 1

O enunciado define sobre \mathbb{R} a métrica
\alpha(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|},
e pede para determinar a bola aberta B(p,\varepsilon) em dois casos diferentes de \varepsilon. As perguntas são exatamente:
(a) Mostrar que, se \varepsilon\ge 1, então B(p,\varepsilon)=\mathbb{R}.
(b) Mostrar que, se \varepsilon<1, então
B\bigl(p,\varepsilon\bigr)=\Bigl]p-\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon},\;p+\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}\Bigr[.
Informações dadas e relevantes que vamos usar:
\alpha é uma função de \mathbb{R}\times\mathbb{R} em [0,1[ dada pela fórmula acima; a bola aberta de centro p e raio \varepsilon é, por definição,
B(p,\varepsilon)=\{x\in\mathbb{R}:\alpha(x,p)<\varepsilon\}.
Não se assume nada além do enunciado.

Passo 2

Vamos entender o conjunto que define a bola usando a definição. Para x\in\mathbb{R} escrevemos d:=|x-p| (note que d\ge 0). A condição x\in B(p,\varepsilon) é equivalente a
\frac{d}{1+d}<\varepsilon.
Então o problema se reduz a resolver essa desigualdade em função de d e depois retornar à variável x pelo fato de d=|x-p|. Vou resolver isso caso a caso dependendo de \varepsilon.

Passo 3

Primeiro uma observação útil sobre a função f:[0,\infty)\to[0,1[ dada por
f(t)=\frac{t}{1+t}.
Propriedades simples e intuitivas (sem cálculo avançado): para todo t\ge 0 temos 0\le f(t)<1. Uma forma rápida de ver f(t)<1 é reescrever
\frac{t}{1+t}=1-\frac{1}{1+t},
e como \frac{1}{1+t}>0 para todo t\ge0, segue f(t)<1. Em particular, para qualquer x\in\mathbb{R} a distância \alpha(x,p)=f(|x-p|) é sempre menor que 1.

Passo 4

Suponha \varepsilon\ge 1. Para todo x\in\mathbb{R} temos, pela observação anterior,
\alpha(x,p)=\frac{|x-p|}{1+|x-p|}<1\le \varepsilon.
Logo \alpha(x,p)<\varepsilon para todo x, o que significa que todo x\in\mathbb{R} pertence a B(p,\varepsilon). Portanto
B(p,\varepsilon)=\mathbb{R}\quad\text{quando}\quad \varepsilon\ge 1.

Passo 5

Agora suponha \varepsilon<1. Queremos resolver
\frac{d}{1+d}<\varepsilon,
com d=|x-p|\ge0. Multiplicando ambos os lados por 1+d (que é positivo), obtemos
d<\varepsilon(1+d).
Desenvolvendo o lado direito:
d<\varepsilon+\varepsilon d.
Passando os termos com d para o lado esquerdo:
d-\varepsilon d < \varepsilon.
Fatorando d:
d(1-\varepsilon) < \varepsilon.

Passo 6

Como assumimos \varepsilon<1, o fator 1-\varepsilon é positivo, portanto podemos dividir por 1-\varepsilon sem inverter o sinal da desigualdade. Isto dá
d < \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}.
Lembrando que d=|x-p|, a condição equivalente é
|x-p| < \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}.

Passo 7

A desigualdade |x-p|<R com R>0 é equivalente à desigualdade composta
-p-R < x-p < p+R
ou, simplificando,
p-R < x < p+R.
Aqui R=\dfrac{\varepsilon}{1-\varepsilon}. Portanto, quando \varepsilon<1 obtemos
B(p,\varepsilon)=\Bigl]p-\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon},\;p+\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}\Bigr[.

Passo 8

Observações rápidas para fechar: se \varepsilon=0 então R=0 e a expressão acima dá a intervalo vazio \,]p,p[, o que coincide com a definição padrão de bola aberta com raio 0 (nenhum ponto satisfaz \alpha(x,p)<0). Para 0<\varepsilon<1 o raio R=\dfrac{\varepsilon}{1-\varepsilon} é positivo e a bola é o intervalo aberto centrado em p com esse raio.

Resposta

(a) B(p,\varepsilon)=\mathbb{R} para \varepsilon\ge 1.\n(b) B(p,\varepsilon)=\displaystyle\Bigl]p-\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon},\;p+\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}\Bigr[ para \varepsilon<1.

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