Considere sobre
a métrica definida por
. Prove que:
(a) Se
, então
;
(b) Se
, então
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado define sobre
a métrica
e pede para determinar a bola aberta
em dois casos diferentes de
. As perguntas são exatamente:
(a) Mostrar que, se
, então
.
(b) Mostrar que, se
, então
Informações dadas e relevantes que vamos usar:
é uma função de
em
dada pela fórmula acima; a bola aberta de centro
e raio
é, por definição,
Não se assume nada além do enunciado.
Passo 2
Vamos entender o conjunto que define a bola usando a definição. Para
escrevemos
(note que
). A condição
é equivalente a
Então o problema se reduz a resolver essa desigualdade em função de
e depois retornar à variável
pelo fato de
. Vou resolver isso caso a caso dependendo de
.
Passo 3
Primeiro uma observação útil sobre a função
dada por
Propriedades simples e intuitivas (sem cálculo avançado): para todo
temos
. Uma forma rápida de ver
é reescrever
e como
para todo
, segue
. Em particular, para qualquer
a distância
é sempre menor que
.
Passo 4
Suponha
. Para todo
temos, pela observação anterior,
Logo
para todo
, o que significa que todo
pertence a
. Portanto
Passo 5
Agora suponha
. Queremos resolver
com
. Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo), obtemos
Desenvolvendo o lado direito:
Passando os termos com
para o lado esquerdo:
Fatorando
:
Passo 6
Como assumimos
, o fator
é positivo, portanto podemos dividir por
sem inverter o sinal da desigualdade. Isto dá
Lembrando que
, a condição equivalente é
Passo 7
A desigualdade
com
é equivalente à desigualdade composta
ou, simplificando,
Aqui
. Portanto, quando
obtemos
Passo 8
Observações rápidas para fechar: se
então
e a expressão acima dá a intervalo vazio
, o que coincide com a definição padrão de bola aberta com raio
(nenhum ponto satisfaz
). Para
o raio
é positivo e a bola é o intervalo aberto centrado em
com esse raio.
Resposta
(a)
para
.\n(b)
para
.