Considere o sólido G , limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e abaixo pelo plano z=1.
Escreva uma integral tripla que fornece o seu volume, usando coordenadas retangulares.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido G que fica entre a esfera
x^2+y^2+z^2=4
por cima e o plano
z=1
por baixo. Para calcular volume em coordenadas retangulares, vamos usar
Vol(G)=integral triplaGdV
e determinar os limites de x, y e z projetando G no plano xy.

Passo 2

A fronteira de projeção no plano xy vem da interseção entre a esfera e o plano z=1. Substituindo z=1 em x^2+y^2+z^2=4, obtemos
x^2+y^2+1^2=4 Longrightarrow x^2+y^2=3
Logo, a projeção é o disco
D=(x,y)mid x^2+y^2<=3

Passo 3

Para cada (x,y)in D, o ponto (x,y,z) fica entre o plano z=1 (limite inferior) e a parte superior da esfera
z=raiz4 - x^2-y^2
(limite superior). Assim
1 <= z <= raiz4 - x^2-y^2

Passo 4

Em coordenadas retangulares, podemos descrever D por
-raiz3<= x<= raiz3, -raiz3 - x^2<= y<= raiz3 - x^2,
então o volume é dado por
integralx=-raiz3^raiz3 integraly=-raiz3 - x^2^raiz3 - x^2 integralz=1^raiz4 - x^2-y^2 dz,dy,dx

Resposta

integralx=-raiz3^raiz3 integraly=-raiz3 - x^2^raiz3 - x^2 integralz=1^raiz4 - x^2-y^2 dz,dy,dx

Exercícios relacionados