Considere o sólido G , limitado acima pela esfera
e abaixo pelo plano
.
Escreva uma integral tripla que fornece o seu volume, usando coordenadas retangulares.
Escreva uma integral tripla que fornece o seu volume, usando coordenadas retangulares.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que fica entre a esfera
por cima e o plano
por baixo. Para calcular volume em coordenadas retangulares, vamos usar
e determinar os limites de
,
e
projetando
no plano
.
Passo 2
A fronteira de projeção no plano
vem da interseção entre a esfera e o plano
. Substituindo
em
, obtemos
Logo, a projeção é o disco
Passo 3
Para cada
, o ponto
fica entre o plano
(limite inferior) e a parte superior da esfera
(limite superior). Assim
Passo 4
Em coordenadas retangulares, podemos descrever
por
então o volume é dado por