Considere o sólido G , limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e abaixo pelo plano z=1.
Escreva uma integral tripla que fornece o seu volume, usando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido G que fica entre o plano z=1 (abaixo) e a esfera x^2+y^2+z^2=4 (acima). Para usar coordenadas cilíndricas definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
e lembramos que o elemento de volume é
dV = r,dz,dr,dtheta

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a esfera vira
r^2+z^2=4 Longrightarrow z = raiz4 - r^2
e o plano é z=1. Para haver pontos com 1 <= z <= raiz4 - r^2 precisamos de
raiz4 - r^2>= 1 Longrightarrow 4 - r^2>= 1 Longrightarrow r^2<= 3 Longrightarrow 0<= r<= raiz3
Além disso theta varre todo o círculo, ou seja, 0<= theta<= 2pi.

Passo 3

Juntando tudo, o volume de G é dado por
V ;=;integraltheta=0^2pi!integralr=0^raiz3!integralz=1^raiz4 - r^2r;dz,dr,dtheta

Resposta

V = integral0^2pi!integral0^raiz3!integral1^raiz4 - r^2r,dz,dr,dtheta

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