Considere um sólido de moléculas \mathrm{H}_{2}. Considere os valores dos parâmetros \varepsilon=50 \cdot 10^{-23} \mathrm{~J} e \sigma=2,96 \AA para o potencial de Lennard-Jones. Calcule a energia de uma rede cúbica de faces centradas.

Passo 1

O enunciado pede a energia de coesão de um sólido de moléculas de \mathrm{H}_2 modelado por um potencial de Lennard-Jones numa rede cúbica de faces centradas (fcc). Vamos precisar de:
  1. Escrita do potencial de Lennard-Jones e da expressão da energia total de rede por partícula.
  2. Uso dos somatórios de rede para fcc
S_6 = \sum_{i\neq0}\Bigl(\frac{1}{c_i}\Bigr)^6,\quad S_{12} = \sum_{i\neq0}\Bigl(\frac{1}{c_i}\Bigr)^{12},
onde c_i = r_i/a e a é a distância entre vizinhos mais próximos.
3. Condição de equilíbrio (minimização da energia por partícula em relação a a).

Passo 2

O potencial de Lennard-Jones entre duas moléculas a distância r é
\varphi(r) \;=\; 4\,\varepsilon\Bigl[\Bigl(\frac{\sigma}{r}\Bigr)^{12} - \Bigl(\frac{\sigma}{r}\Bigr)^{6}\Bigr],
com \varepsilon=50\times10^{-23}\text{ J} e \sigma=2,96\text{ Å}Å.
Em uma rede fcc, a energia total dividida pelo número de partículas N é
\frac{U}{N} =\frac12\sum_{i\neq0}\varphi(r_i) =4\,\varepsilon\Bigl[S_{12}\Bigl(\frac{\sigma}{a}\Bigr)^{12}-S_{6}\Bigl(\frac{\sigma}{a}\Bigr)^{6}\Bigr],
onde a é a distância entre partículas vizinhas mais próximas. Para fcc existem valores tabulados
S_6 = 14,454,\quad S_{12} = 12,132.

Passo 3

Para achar a distância de equilíbrio a_0, impomos
\frac{d}{da}\Bigl(\frac{U}{N}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; 12\,S_{12}\Bigl(\frac{\sigma}{a}\Bigr)^{12}\frac{(-1)}{a} -6\,S_{6}\Bigl(\frac{\sigma}{a}\Bigr)^{6}\frac{(-1)}{a} =0.
Isto leva a
2\,S_{12}\Bigl(\frac{\sigma}{a}\Bigr)^{6} \;=\; S_{6} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sigma}{a_0} =\Bigl(\frac{S_{6}}{2\,S_{12}}\Bigr)^{1/6}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos,
\frac{\sigma}{a_0} =\Bigl(\frac{14,454}{2\times12,132}\Bigr)^{1/6} =\bigl(0,5959\bigr)^{1/6} \approx 0,9185 \;\Longrightarrow\; a_0 \approx \frac{\sigma}{0,9185} \approx 1,089\sigma \approx 1,089\times2,96\text{ Å} \approx 3,22\text{ Å}.ÅÅ

Passo 5

A energia por partícula no equilíbrio é
\frac{U}{N}\Bigl(a_0\Bigr) =4\,\varepsilon\Bigl[S_{12}x^2 - S_{6}x\Bigr] \quad\text{onde}\quad x=\Bigl(\frac{\sigma}{a_0}\Bigr)^{6} =\frac{S_{6}}{2\,S_{12}}.
Fazendo as contas,
\frac{U}{N}\Bigl(a_0\Bigr) =-\,\frac{S_{6}^2}{\,S_{12}\,}\,\varepsilon \approx -\,\frac{(14,454)^2}{12,132}\times50\times10^{-23}\text{ J} \approx -8,6\times10^{-21}\text{ J}.
Em energia molar,
U_{\rm molar} = N_A\frac{U}{N} \approx 6,022\times10^{23}\times(-8,6\times10^{-21})\text{ J/mol} \approx -5,18\times10^{3}\text{ J/mol} \approx -5{,}18\text{ kJ/mol}.

Resposta

A distância de equilíbrio entre vizinhos é a_0\approx3,22\text{ Å}Å e a energia de coesão por molécula é
\frac{U}{N}\approx -8,6\times10^{-21}\text{ J},
o que corresponde a -5,18\text{ kJ/mol}.

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