A separação R entre átomos vizinhos de uma rede cúbica de corpo centrado leva à seguinte energia da rede:
E=\frac{A}{R^{12}}-\frac{B}{R^{6}}
(a) A ligação é iónica ou de Van der Waals? Porquê?
(b) Determine a separação de equilíbrio se o sólido estiver no vácuo.
(c) Determine a separação de equilíbrio se o sólido estiver sujeito à pressão p_{0}.

Passo 1

O enunciado dá a energia por átomo de uma rede cúbica de corpo centrado em função da separação R entre vizinhos:
E(R)=\frac{A}{R^{12}}-\frac{B}{R^{6}}.
Estamos em física do estado sólido (potenciais interatômicos) e para resolver vamos (a) identificar o tipo de interação pelo comportamento em R, (b) achar o ponto de mínimo de E(R) no vácuo impondo \mathrm{d}E/\mathrm{d}R=0 e (c) repetir esse mínimo quando há pressão externa p_{0}, incluindo o termo de p_{0}V.

Passo 2

Para (a) olhamos o termo atrativo -B/R^{6}. Ligações iônicas obedecem a um potencial Coulombiano \sim1/R, enquanto forças de Van der Waals (dispersion) aparecem com \sim1/R^{6}. Aqui o termo atrativo é exatamente \sim1/R^{6}, logo
a ligação é de Van der Waals, pois vem da interação de dipolos induzidos.

Passo 3

No vácuo não há pressão, então a separação de equilíbrio R_{0} satisfaz
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}R} =-12\,\frac{A}{R^{13}}+6\,\frac{B}{R^{7}} \stackrel{!}{=}0.
Isso dá
12\,\frac{A}{R^{13}}=6\,\frac{B}{R^{7}} \quad\Longrightarrow\quad 2\,\frac{A}{R^{6}}=B \quad\Longrightarrow\quad R^{6}=\frac{2A}{B}.

Passo 4

Extraindo a raiz sexta, obtemos a separação de equilíbrio no vácuo
R_{0}=\Bigl(\tfrac{2A}{B}\Bigr)^{1/6}.

Passo 5

Com pressão p_{0} minimizamos a função entalpia por átomo
H(R)=E(R)+p_{0}\,V_{\text{átomo}}(R).á
Em rede cúbica de corpo centrado o parâmetro de rede a relaciona-se a R por
R=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{2R}{\sqrt{3}}.
Cada célula tem 2 átomos e volume a^{3}, então o volume por átomo é
V_{\text{átomo}}(R) =\frac{a^{3}}{2} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{2R}{\sqrt{3}}\Bigr)^{3} =\frac{4}{3\sqrt{3}}\,R^{3}.á
Impondo \mathrm{d}H/\mathrm{d}R=0
-12\,\frac{A}{R^{13}} +6\,\frac{B}{R^{7}} +p_{0}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R}\Bigl(\frac{4}{3\sqrt{3}}R^{3}\Bigr) =0
-12\,\frac{A}{R^{13}} +6\,\frac{B}{R^{7}} +p_{0}\,\frac{4}{\sqrt{3}}\,R^{2} =0.
Multiplicando por R^{13} resulta na equação implícita para R:
p_{0}\,\frac{4}{\sqrt{3}}\,R^{15} +6\,B\,R^{6} -12\,A =0,
que determina numericamente a separação de equilíbrio sob p_{0}.

Resposta

(a) Van der Waals, pois o termo atrativo é \sim1/R^{6}.
(b) \displaystyle R_{0}=\Bigl(\tfrac{2A}{B}\Bigr)^{1/6}.
(c) A separação R satisfaz
p_{0}\,\frac{4}{\sqrt{3}}\,R^{15} +6\,B\,R^{6} -12\,A =0.

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