Considere o sólido
situado no primeiro octante do sistema coordenado e que é delimitado pelas superfícies de equações
Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido
, seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
a) Na ordem de integração
, ou seja, em que
é a variável totalmente dependente,
é a variável parcialmente dependente e
é a variável independente, é possível utilizar uma única integral tripla para calcular o volume de
, cujos limitantes de integração são dados por.
i)
, □ ]
ii)
, □ ]
iii)
, □ ]
b) Na ordem de integração
, ou seja, em que
é a variável totalmente dependente,
é a variável parcialmente dependente e
é a variável independente, é possível utilizar uma única integral tripla para calcular o volume de
, cujos limitantes de integração são dados por:
i)
, □ ]
ii)
, □ ]
iii)
, □ ]
c) Na ordem de integração
, ou seja, em que
é a variável totalmente dependente,
é a variável parcialmente dếpendente e
é a variável independente, é necessário usar uma
a) Na ordem de integração
i)
ii)
iii)
b) Na ordem de integração
i)
ii)
iii)
c) Na ordem de integração
Passo 1
O enunciado pede montar integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que calculam o volume do sólido
situado no primeiro octante e limitado por
e
Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
- Informações dadas:
- O sólido está no primeiro octante, logo
, , . - A superfície
é um cilindro elíptico paralelo ao eixo ; a região em projetada é a elipse . - A superfície
é um plano que limita a região na direção ; internamente a esse plano e no primeiro octante temos .
- O sólido está no primeiro octante, logo
- O que o enunciado quer:
- Montar a integral tripla do volume seguindo as ordens de integração pedidas.
- Para cada ordem, fornecer explicitamente os limites de integração (os intervalos com as dependências corretas).
- Em particular, os itens a), b) e c) pedem os limites nas ordens
, e respectivamente; no item c) verificar se é necessário usar mais de uma integral e, se sim, mostrar como dividir.
Passo 2
Ideia geral (ferramentas que vamos usar) — pequena aula prática e intuitiva:
- Volume por integral tripla: o volume
de é
- Para montar a integral, é conveniente projetar
em um plano coordenado (a projeção mais natural aqui é no plano , porque a equação elíptica envolve só e , e o plano envolve e ). A projeção no plano é a região elíptica
- Deste fato decorre uma forma direta: para cada par
na elipse projetada, varia entre e a interseção com o plano, isto é
- Quando escolhermos uma ordem de integração, devemos expressar para cada variável seu intervalo, que pode ser constante (independente) ou depender de outras variáveis mais externas na ordem escolhida. Se uma variável tem limites que dependem de duas variáveis externas diferentes, às vezes precisamos dividir a região em partes (usar duas integrais) para descrever corretamente o mínimo entre duas curvas/superfícies.
Passo 3
Análises auxiliares (resolver as equações para usar como limites):
- Da elipse
obtenho, isolando em função de :
- Ou isolando
em função de :
- Observações numéricas úteis:
- Quando
, da elipse . - Quando
, da elipse . - O plano impõe
. Para isso exige . Logo a projeção em será sempre até no máximo .
- Quando
Passo 4
Item (a): ordem
(isto é,
totalmente dependente;
parcialmente dependente;
independente).
- Interpretação prática:
será a variável externa com intervalo independente; para cada fixo, varia dentro da elipse (depende de ); para cada e fixos, varia entre e o plano (depende de , mas não de ). - Limites:
-
: para pontos internos, . -
: para um fixo, . -
: como já notado, .
-
- Assim uma única integral tripla que dá o volume é, por exemplo,
(Na prática, a integral em
é imediata e reduz-se ao produto do comprimento
pela área das fatias em
.)
Passo 5
Item (b): ordem
(isto é,
totalmente dependente;
parcialmente dependente;
independente).
- Interpretação prática:
é a variável externa com intervalo independente; para cada fixo, varia entre e o plano (depende de ); para cada e fixos, varia dentro da elipse (depende somente de ). - Limites:
-
: para um fixo, . -
: para esse , . -
: .
-
- Assim a integral tripla única é
Passo 6
Item (c): ordem
(isto é,
totalmente dependente;
parcialmente dependente;
independente). Aqui precisamos verificar se uma única integral descreve
nesta ordem ou se é preciso dividir.
- Estratégia: fixo
(externo), a seção transversal em é dada por Para \emph{cada} temos que, para cada , varia de até o menor entre (i) o valor dado pela elipse e (ii) o valor dado pelo plano . - Logo o limite superior de
é . Sempre que um limite é o mínimo entre duas funções de variáveis diferentes, em geral é preciso dividir a descrição da região em partes onde cada função é a menor. Portanto será necessário usar \emph{duas} integrais triplas (somadas) para cobrir toda a faixa de para um dado . - Determinar a fronteira entre as duas partes: resolver
, ou seja
Fazendo as manipulações com cuidado e limpando os fatores:
Ao elevar ao quadrado e simplificar (mostrar passo a passo para aprender):
Colocando tudo sobre denominador comum e isolando
obtém-se (após simplificação)
Portanto a curva crítica que separa os dois tipos de fatia é
- Observações:
varia entre e (porque para o plano daria , fora do primeiro octante). Para cada : - Para
a função menor é (ou seja, a restrição do plano corta mais baixo que a elipse), então . - Para
a função menor é , então .
- Para
- Conclusão: é necessário usar duas integrais (soma de duas triplas) para descrever
na ordem .
Passo 7
Escrever as duas integrais triplas (forma final e explícita) para o item (c):
- Para
indo de a , primeiro pedaço (onde o plano domina em ):
- Segundo pedaço (onde a elipse domina em
):
- O volume total é
.
Resposta
a.i)
a.ii)
a.iii)
a.ii)
a.iii)
b.i)
b.ii)
b.iii)
b.ii)
b.iii)
c) É necessário usar duas integrais. As integrais que cobrem
na ordem
são