Considere o sólido S situado no primeiro octante do sistema coordenado e que é delimitado pelas superfícies de equações
9 y^{2}+25 z^{2}=225 \text { e } 3 x+7 z=21
Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido S, seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
a) Na ordem de integração \boldsymbol{d} \boldsymbol{x} \boldsymbol{d} \boldsymbol{z} \boldsymbol{d} \boldsymbol{y}, ou seja, em que \boldsymbol{x} é a variável totalmente dependente, z é a variável parcialmente dependente e \boldsymbol{y} é a variável independente, é possível utilizar uma única integral tripla para calcular o volume de S, cujos limitantes de integração são dados por.
i) x \in[0, □ ]
ii) z \in[0, □ ]
iii) y \in[0, □ ]
b) Na ordem de integração d y d x d z, ou seja, em que y é a variável totalmente dependente, x é a variável parcialmente dependente e z é a variável independente, é possível utilizar uma única integral tripla para calcular o volume de S, cujos limitantes de integração são dados por:
i) y \in[0, □ ]
ii) x \in[0, □ ]
iii) z \in[0, □ ]
c) Na ordem de integração d z d y d x, ou seja, em que z é a variável totalmente dependente, y é a variável parcialmente dếpendente e x é a variável independente, é necessário usar uma

Passo 1

O enunciado pede montar integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que calculam o volume do sólido S situado no primeiro octante e limitado por
9y^{2}+25z^{2}=225
e
3x+7z=21.
Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
  • Informações dadas:
    • O sólido está no primeiro octante, logo x\ge0, y\ge0, z\ge0.
    • A superfície 9y^{2}+25z^{2}=225 é um cilindro elíptico paralelo ao eixo x; a região em yz projetada é a elipse 9y^{2}+25z^{2}\le225.
    • A superfície 3x+7z=21 é um plano que limita a região na direção x; internamente a esse plano e no primeiro octante temos 0\le x\le(21-7z)/3.
  • O que o enunciado quer:
    • Montar a integral tripla do volume seguindo as ordens de integração pedidas.
    • Para cada ordem, fornecer explicitamente os limites de integração (os intervalos com as dependências corretas).
    • Em particular, os itens a), b) e c) pedem os limites nas ordens dx\,dz\,dy, dy\,dx\,dz e dz\,dy\,dx respectivamente; no item c) verificar se é necessário usar mais de uma integral e, se sim, mostrar como dividir.

Passo 2

Ideia geral (ferramentas que vamos usar) — pequena aula prática e intuitiva:
  • Volume por integral tripla: o volume V de S é
V=\iiint_{S} dV.
  • Para montar a integral, é conveniente projetar S em um plano coordenado (a projeção mais natural aqui é no plano yz, porque a equação elíptica envolve só y e z, e o plano envolve x e z). A projeção no plano yz é a região elíptica
9y^{2}+25z^{2}\le225.
  • Deste fato decorre uma forma direta: para cada par (y,z) na elipse projetada, x varia entre 0 e a interseção com o plano, isto é
0\le x\le \frac{21-7z}{3}.
  • Quando escolhermos uma ordem de integração, devemos expressar para cada variável seu intervalo, que pode ser constante (independente) ou depender de outras variáveis mais externas na ordem escolhida. Se uma variável tem limites que dependem de duas variáveis externas diferentes, às vezes precisamos dividir a região em partes (usar duas integrais) para descrever corretamente o mínimo entre duas curvas/superfícies.

Passo 3

Análises auxiliares (resolver as equações para usar como limites):
  • Da elipse 9y^{2}+25z^{2}=225 obtenho, isolando z em função de y:
z^{2}\le \frac{225-9y^{2}}{25}\quad\Rightarrow\quad 0\le z\le \frac{1}{5}\sqrt{225-9y^{2}}.
  • Ou isolando y em função de z:
y^{2}\le \frac{225-25z^{2}}{9}\quad\Rightarrow\quad 0\le y\le \frac{1}{3}\sqrt{225-25z^{2}}.
  • Observações numéricas úteis:
    • Quando z=0, da elipse 9y^{2}\le225\Rightarrow y\le5.
    • Quando y=0, da elipse 25z^{2}\le225\Rightarrow z\le3.
    • O plano impõe x\le(21-7z)/3. Para x\ge0 isso exige 21-7z\ge0\Rightarrow z\le3. Logo a projeção em z será sempre até no máximo 3.

Passo 4

Item (a): ordem dx\,dz\,dy (isto é, x totalmente dependente; z parcialmente dependente; y independente).
  • Interpretação prática: y será a variável externa com intervalo independente; para cada y fixo, z varia dentro da elipse (depende de y); para cada z e y fixos, x varia entre 0 e o plano (depende de z, mas não de y).
  • Limites:
    • x: para pontos internos, 0\le x\le \dfrac{21-7z}{3}.
    • z: para um y fixo, 0\le z\le \dfrac{1}{5}\sqrt{225-9y^{2}}.
    • y: como já notado, 0\le y\le5.
  • Assim uma única integral tripla que dá o volume é, por exemplo,
V=\int_{y=0}^{5}\int_{z=0}^{\tfrac{1}{5}\sqrt{225-9y^{2}}\\ }\int_{x=0}^{\tfrac{21-7z}{3}} dx\,dz\,dy.
(Na prática, a integral em x é imediata e reduz-se ao produto do comprimento \frac{21-7z}{3} pela área das fatias em y,z.)

Passo 5

Item (b): ordem dy\,dx\,dz (isto é, y totalmente dependente; x parcialmente dependente; z independente).
  • Interpretação prática: z é a variável externa com intervalo independente; para cada z fixo, x varia entre 0 e o plano (depende de z); para cada x e z fixos, y varia dentro da elipse (depende somente de z).
  • Limites:
    • y: para um z fixo, 0\le y\le \dfrac{1}{3}\sqrt{225-25z^{2}}.
    • x: para esse z, 0\le x\le \dfrac{21-7z}{3}.
    • z: 0\le z\le3.
  • Assim a integral tripla única é
V=\int_{z=0}^{3}\int_{x=0}^{\tfrac{21-7z}{3}}\int_{y=0}^{\tfrac{1}{3}\sqrt{225-25z^{2}}} dy\,dx\,dz.

Passo 6

Item (c): ordem dz\,dy\,dx (isto é, z totalmente dependente; y parcialmente dependente; x independente). Aqui precisamos verificar se uma única integral descreve S nesta ordem ou se é preciso dividir.
  • Estratégia: fixo x (externo), a seção transversal em y\!-\!z é dada por 9y^{2}+25z^{2}\le225\quad\text{e}\quad 0\le z\le \frac{21-3x}{7}.Para \emph{cada} x temos que, para cada y, z varia de 0 até o menor entre (i) o valor dado pela elipse z_{\text{elip}}(y)=\dfrac{1}{5}\sqrt{225-9y^{2}} e (ii) o valor dado pelo plano z_{\text{plano}}(x)=\dfrac{21-3x}{7}.
  • Logo o limite superior de z é \min\{z_{\text{elip}}(y),\,z_{\text{plano}}(x)\}. Sempre que um limite é o mínimo entre duas funções de variáveis diferentes, em geral é preciso dividir a descrição da região em partes onde cada função é a menor. Portanto será necessário usar \emph{duas} integrais triplas (somadas) para cobrir toda a faixa de y para um dado x.
  • Determinar a fronteira entre as duas partes: resolver z_{\text{elip}}(y)=z_{\text{plano}}(x), ou seja
\frac{1}{5}\sqrt{225-9y^{2}}=\frac{21-3x}{7}.
Fazendo as manipulações com cuidado e limpando os fatores:
\sqrt{225-9y^{2}}=5\cdot\frac{21-3x}{7}=\frac{105-15x}{7}.
Ao elevar ao quadrado e simplificar (mostrar passo a passo para aprender):
225-9y^{2}=\frac{(105-15x)^{2}}{49}.
Colocando tudo sobre denominador comum e isolando y^{2} obtém-se (após simplificação)
y^{2}=\frac{25}{49}\,x(14-x).
Portanto a curva crítica que separa os dois tipos de fatia é
y=\frac{5}{7}\sqrt{x(14-x)}.
  • Observações: x varia entre 0 e 7 (porque para x>7 o plano daria z_{\text{plano}}<0, fora do primeiro octante). Para cada x\in[0,7]:
    • Para 0\le y\le \dfrac{5}{7}\sqrt{x(14-x)} a função menor é z_{\text{plano}}(x) (ou seja, a restrição do plano corta mais baixo que a elipse), então 0\le z\le \dfrac{21-3x}{7}.
    • Para \dfrac{5}{7}\sqrt{x(14-x)}\le y\le 5 a função menor é z_{\text{elip}}(y), então 0\le z\le \dfrac{1}{5}\sqrt{225-9y^{2}}.
  • Conclusão: é necessário usar duas integrais (soma de duas triplas) para descrever S na ordem dz\,dy\,dx.

Passo 7

Escrever as duas integrais triplas (forma final e explícita) para o item (c):
  • Para x indo de 0 a 7, primeiro pedaço (onde o plano domina em z):
V_{1}=\int_{x=0}^{7}\int_{y=0}^{\tfrac{5}{7}\sqrt{x(14-x)}}\int_{z=0}^{\tfrac{21-3x}{7}} dz\,dy\,dx.
  • Segundo pedaço (onde a elipse domina em z):
V_{2}=\int_{x=0}^{7}\int_{y=\tfrac{5}{7}\sqrt{x(14-x)}}^{5}\int_{z=0}^{\tfrac{1}{5}\sqrt{225-9y^{2}}} dz\,dy\,dx.
  • O volume total é V=V_{1}+V_{2}.

Resposta

a.i) x\in\displaystyle\left[0,\frac{21-7z}{3}\right]
a.ii) z\in\displaystyle\left[0,\frac{1}{5}\sqrt{225-9y^{2}}\right]
a.iii) y\in\displaystyle\left[0,5\right]
b.i) y\in\displaystyle\left[0,\frac{1}{3}\sqrt{225-25z^{2}}\right]
b.ii) x\in\displaystyle\left[0,\frac{21-7z}{3}\right]
b.iii) z\in\displaystyle\left[0,3\right]
c) É necessário usar duas integrais. As integrais que cobrem S na ordem dz\,dy\,dx são
\int_{x=0}^{7}\int_{y=0}^{\tfrac{5}{7}\sqrt{x(14-x)}}\int_{z=0}^{\tfrac{21-3x}{7}} dz\,dy\,dx \;+\; \int_{x=0}^{7}\int_{y=\tfrac{5}{7}\sqrt{x(14-x)}}^{5}\int_{z=0}^{\tfrac{1}{5}\sqrt{225-9y^{2}}} dz\,dy\,dx.

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