Supondo agora que o sólido
seja confeccionado por um material cuja densidade é dada por
, o valor numérico da sua massa é dada por
□ unidades de massa.
Passo 1
O enunciado fornece a densidade do material:
A pergunta é: qual é o valor numérico da massa
do sólido
, ou seja, encontrar
Informações relevantes e ausentes:
- Está dado o campo densidade
. - O que se pede é a massa total
do sólido . - Falta uma informação crucial: a descrição da região espacial
sobre a qual integrar. Sem a especificação de (por exemplo, um paralelepípedo, uma região limitada por planos, uma esfera, etc.) não há como obter um valor numérico único para .
Passo 2
Como se calcula a massa de um sólido com densidade variável: ideia e fórmula
- Conceito: a densidade volumétrica
dá a massa por unidade de volume no ponto . Para achar a massa total somamos (integrando) a densidade sobre todo o volume . - Fórmula geral:
Aqui:
-
é a massa total (unidades de massa). -
é a densidade (unidades de massa por unidade de volume). -
é o elemento de volume (em coordenadas cartesianas ). - Passos práticos para calcular:
- Identificar a região
e expressá-la por limites de integração (em coordenadas cartesianas, cilíndricas ou esféricas, conforme a simetria). - Escolher uma ordem de integração conveniente (por exemplo,
). - Montar o integral iterado
com os limites corretos. - Calcular as integrais internas passo a passo (polinômios como aqui são fáceis de integrar).
- Identificar a região
Passo 3
Método em um caso típico (paralelepípedo): integral e cálculo simbólico
- Suponha que
seja o paralelepípedo
ou seja
,
,
.
- Então
Calculemos a integral em ordem
, depois
, depois
, detalhando os passos:
- Integral em
:
- Agora integrar em
:
- Finalmente integrar em
:
Portanto, o resultado fechado para este caso é
Observação: esse é um exemplo padrão que mostra como proceder quando
é um paralelepípedo.
Passo 4
Exemplo numérico completo (modelo de treino) — paralelepípedo concreto
- Suponha
seja o paralelepípedo . (Isto é um exemplo didático, não uma suposição do enunciado original.) - Usando a fórmula do Passo 3 com
:
- Assim, para esse
de exemplo, unidades de massa. - Comentário prático: para densidades polinomiais como
a integração é rápida e direta — integre sempre a variável que simplifica primeiro.
Passo 5
Outro exemplo didático: região no 1.º octante limitada por
- Suponha
. - Montagem do integral (ordem
):
- Integramos em
primeiro:
- Em seguida, integral em
:
Fazendo a substituição
(ou calculando polinomialmente) chega-se a
- Assim a integral reduz para
- A integral final é uma Beta integral:
. - Portanto
- Conclusão do exemplo: se
for a região do 1.º octante limitada por , então unidades de massa.
Passo 6
Recapitulando (e um empurrãozinho de ânimo)
- Regra geral: a massa é sempre
mas é impossível obter um número sem saber exatamente quais são os limites que definem
.
- O que eu fiz acima: mostrei a fórmula e dei dois exemplos completos (paralelepípedo e tetraedro no 1.º octante) para você ver exatamente como montar e calcular o integral passo a passo.
- Dica prática para a prova: assim que vir o enunciado, escreva imediatamente
e identifique a ordem de integração com base na forma de
. Para polinômios em
é quase sempre melhor integrar primeiro a variável cuja dependência tem potência maior (aqui
porque aparece como
) — isso simplifica os cálculos.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque a região
não foi especificada.