Supondo agora que o sólido S seja confeccionado por um material cuja densidade é dada por f(x, y, z)=5 x y z^{2}, o valor numérico da sua massa é dada por
M= □ unidades de massa.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade do material:
f(x,y,z)=5xyz^{2}.
A pergunta é: qual é o valor numérico da massa M do sólido S, ou seja, encontrar
M=\boxed{\,\;}\\ \text{unidades de massa (valor numérico)}.é
Informações relevantes e ausentes:
  • Está dado o campo densidade f(x,y,z)=5xyz^{2}.
  • O que se pede é a massa total M do sólido S.
  • Falta uma informação crucial: a descrição da região espacial S sobre a qual integrar. Sem a especificação de S (por exemplo, um paralelepípedo, uma região limitada por planos, uma esfera, etc.) não há como obter um valor numérico único para M.

Passo 2

Como se calcula a massa de um sólido com densidade variável: ideia e fórmula
  • Conceito: a densidade volumétrica f(x,y,z) dá a massa por unidade de volume no ponto (x,y,z). Para achar a massa total somamos (integrando) a densidade sobre todo o volume S.
  • Fórmula geral:
M=\iiint_{S} f(x,y,z)\,dV.
Aqui:
  • M é a massa total (unidades de massa).
  • f(x,y,z)=5xyz^{2} é a densidade (unidades de massa por unidade de volume).
  • dV é o elemento de volume (em coordenadas cartesianas dV=dx\,dy\,dz).
  • Passos práticos para calcular:
    1. Identificar a região S e expressá-la por limites de integração (em coordenadas cartesianas, cilíndricas ou esféricas, conforme a simetria).
    2. Escolher uma ordem de integração conveniente (por exemplo, dz\,dy\,dx).
    3. Montar o integral iterado \iiint_{S}5xyz^{2}\,dV com os limites corretos.
    4. Calcular as integrais internas passo a passo (polinômios como aqui são fáceis de integrar).

Passo 3

Método em um caso típico (paralelepípedo): integral e cálculo simbólico
  • Suponha que S seja o paralelepípedo
S=[a,b]\times[c,d]\times[e,g],
ou seja a\le x\le b, c\le y\le d, e\le z\le g.
  • Então
M=\int_{x=a}^{b}\int_{y=c}^{d}\int_{z=e}^{g}5xyz^{2}\,dz\,dy\,dx.
Calculemos a integral em ordem dz, depois dy, depois dx, detalhando os passos:
  1. Integral em z:
\int_{z=e}^{g}5xyz^{2}\,dz = 5xy\int_{e}^{g}z^{2}\,dz = 5xy\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{e}^{g} = \frac{5}{3}xy\bigl(g^{3}-e^{3}\bigr).
  1. Agora integrar em y:
\int_{y=c}^{d}\frac{5}{3}xy\bigl(g^{3}-e^{3}\bigr)\,dy = \frac{5}{3}x\bigl(g^{3}-e^{3}\bigr)\int_{c}^{d}y\,dy = \frac{5}{3}x\bigl(g^{3}-e^{3}\bigr)\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{c}^{d} = \frac{5}{6}x\bigl(g^{3}-e^{3}\bigr)\bigl(d^{2}-c^{2}\bigr).
  1. Finalmente integrar em x:
\int_{x=a}^{b}\frac{5}{6}x\bigl(g^{3}-e^{3}\bigr)\bigl(d^{2}-c^{2}\bigr)\,dx = \frac{5}{6}\bigl(g^{3}-e^{3}\bigr)\bigl(d^{2}-c^{2}\bigr)\int_{a}^{b}x\,dx = \frac{5}{6}\bigl(g^{3}-e^{3}\bigr)\bigl(d^{2}-c^{2}\bigr)\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{a}^{b}.
Portanto, o resultado fechado para este caso é
M=\frac{5}{12}\bigl(g^{3}-e^{3}\bigr)\bigl(d^{2}-c^{2}\bigr)\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr).
Observação: esse é um exemplo padrão que mostra como proceder quando S é um paralelepípedo.

Passo 4

Exemplo numérico completo (modelo de treino) — paralelepípedo concreto
  • Suponha S seja o paralelepípedo 0\le x\le 2,\\\ 0\le y\le 1,\\\ 0\le z\le 3. (Isto é um exemplo didático, não uma suposição do enunciado original.)
  • Usando a fórmula do Passo 3 com a=0,b=2,c=0,d=1,e=0,g=3:
M=\frac{5}{12}\bigl(3^{3}-0^{3}\bigr)\bigl(1^{2}-0^{2}\bigr)\bigl(2^{2}-0^{2}\bigr) = \frac{5}{12}\cdot 27\cdot 1\cdot 4 = \frac{5}{12}\cdot 108 =5\cdot 9=45.
  • Assim, para esse S de exemplo, M=45 unidades de massa.
  • Comentário prático: para densidades polinomiais como 5xyz^{2} a integração é rápida e direta — integre sempre a variável que simplifica primeiro.

Passo 5

Outro exemplo didático: região no 1.º octante limitada por x+y+z=1
  • Suponha S=\{(x,y,z): x\ge0,\\ y\ge0,\\ z\ge0,\\ x+y+z\le1\}.
  • Montagem do integral (ordem dz\,dy\,dx):
M=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y}5xyz^{2}\,dz\,dy\,dx.
  • Integramos em z primeiro:
\int_{0}^{1-x-y}5xyz^{2}\,dz = \frac{5}{3}xy(1-x-y)^{3}.
  • Em seguida, integral em y:
\int_{0}^{1-x}\frac{5}{3}xy(1-x-y)^{3}\,dy =\frac{5}{3}x\int_{0}^{1-x}y(1-x-y)^{3}\,dy.
Fazendo a substituição u=1-x-y (ou calculando polinomialmente) chega-se a
\int_{0}^{1-x}y(1-x-y)^{3}\,dy = \frac{(1-x)^{5}}{20}.
  • Assim a integral reduz para
M=\int_{0}^{1}\frac{5}{3}x\cdot\frac{(1-x)^{5}}{20}\,dx = \frac{1}{12}\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}\,dx.
  • A integral final é uma Beta integral: \int_{0}^{1}x(1-x)^{5}\,dx=\mathrm{B}(2,6)=\dfrac{1!5!}{7!}=\dfrac{1}{42}.
  • Portanto
M=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{42}=\frac{1}{504}.
  • Conclusão do exemplo: se S for a região do 1.º octante limitada por x+y+z=1, então M=\dfrac{1}{504} unidades de massa.

Passo 6

Recapitulando (e um empurrãozinho de ânimo)
  • Regra geral: a massa é sempre
M=\iiint_{S}5xyz^{2}\,dV,
mas é impossível obter um número sem saber exatamente quais são os limites que definem S.
  • O que eu fiz acima: mostrei a fórmula e dei dois exemplos completos (paralelepípedo e tetraedro no 1.º octante) para você ver exatamente como montar e calcular o integral passo a passo.
  • Dica prática para a prova: assim que vir o enunciado, escreva imediatamente
M=\iiint_{S}5xyz^{2}\,dV,
e identifique a ordem de integração com base na forma de S. Para polinômios em x,y,z é quase sempre melhor integrar primeiro a variável cuja dependência tem potência maior (aqui z porque aparece como z^{2}) — isso simplifica os cálculos.

Resposta

Não é possível determinar numericamente M porque a região S não foi especificada.

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