Questão 5 - Difusão Unidimensional em Corpo Semi-Infinito: Considere uma barra de aço de baixo carbono inicialmente homogênea, contendo 0,25 \% em peso de carbono em todo o seu interior. A barra é subitamente exposta a uma atmosfera carburante rica em carbono, e supõese que a concentração de carbono na superfície se mantenha constante e igual a 0,80 \% em peso durante todo o processo.
O tratamento ocorre durante 2 horas a uma temperatura na qual a difusividade do carbono no aço é:
D=1,2 \times 10^{-11} \quad \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
Assuma que o aço pode ser tratado como um corpo semi-infinito, com difusão unidimensional a partir da superfície plana submetida ao meio carburante.
Pede-se determinar a concentração de carbono nas profundidades:
  • 0,010 \mathrm{~cm}
  • 0,025 \mathrm{~cm}
  • 0,050 \mathrm{~cm}
    abaixo da superfície, após o período de tratamento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • Concentração inicial homogênea: \,C_0 = 0{,}25\% em peso.
    • Concentração mantida na superfície (constante): \,C_s = 0{,}80\% em peso.
    • Difusividade: \displaystyle D = 1{,}2\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s}.
    • Tempo de tratamento: t = 2\\ \mathrm{h} = 7200\\ \mathrm{s}.
    • Corpo tratado como semi-infinito, difusão unidimensional a partir da superfície plana.
  • O que pede o enunciado:
    • Determinar a concentração de carbono C(x,t) nas profundidades:
      • x=0{,}010\\ \mathrm{cm},
      • x=0{,}025\\ \mathrm{cm},
      • x=0{,}050\\ \mathrm{cm},
        após o período de 2 horas.
  • Observações úteis antes de começar:
    • Vou converter todas as profundidades para metros (SI) para usar com D em \mathrm{m^2/s}.
    • Conversões: 0{,}010\\ \mathrm{cm} = 1{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m},\qquad 0{,}025\\ \mathrm{cm} = 2{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{m},\qquad 0{,}050\\ \mathrm{cm} = 5{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Qual é a solução teórica que usaremos e por quê (aula rapidinha).
  • Para difusão unidimensional em um corpo semi-infinito com concentração superficial mantida constante \,C_s e concentração inicial uniforme \,C_0, a solução da equação de difusão (Lei de Fick, segunda lei) é: C(x,t) = C_s + (C_0 - C_s)\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right).Onde:
    • C(x,t) é a concentração no ponto x e tempo t.
    • C_s é a concentração constante na superfície (em x=0).
    • C_0 é a concentração inicial no interior ( t=0).
    • D é a difusividade (m²/s).
    • \operatorname{erf}(\cdot) é a função erro (error function), definida por \operatorname{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z} e^{-u^{2}}\,du.
  • Intuição rápida: em x=0 tem \operatorname{erf}(0)=0 e então C(0,t)=C_s; quando x\to\infty tem \operatorname{erf}(\infty)=1 e C\to C_0. Perfeito para semi-infinito com superfície mantida.

Passo 3

Calcular o parâmetro comum 2\sqrt{Dt} que aparece no argumento da \operatorname{erf}.
  • Primeiro o produto Dt: Dt = \left(1{,}2\times 10^{-11}\right)\cdot 7200 = 8{,}64\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^2}.
  • Raiz quadrada: \sqrt{Dt} = \sqrt{8{,}64\times 10^{-8}} = \sqrt{8{,}64}\times 10^{-4}\approx 2{,}94\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Portanto 2\sqrt{Dt} \approx 2\cdot 2{,}94\times 10^{-4} = 5{,}88\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o argumento \eta=\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}} da função erro para cada profundidade (mostrando a conversão que já listei no Passo 1).
  • Para x=0{,}010\\ \mathrm{cm}=1{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}: \eta_1=\frac{1{,}0\times 10^{-4}}{5{,}88\times 10^{-4}}\approx 0{,}1700.
  • Para x=0{,}025\\ \mathrm{cm}=2{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}: \eta_2=\frac{2{,}5\times 10^{-4}}{5{,}88\times 10^{-4}}\approx 0{,}4252.
  • Para x=0{,}050\\ \mathrm{cm}=5{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}: \eta_3=\frac{5{,}0\times 10^{-4}}{5{,}88\times 10^{-4}}\approx 0{,}8503.

Passo 5

Calcular os valores da função erro \operatorname{erf}(\eta). (Explicação prática: \operatorname{erf} não tem forma elemental; na prova usa-se tabela de \operatorname{erf} ou calculadora. Aqui faço aproximações usando a expansão em série para pequenos argumentos e termos suficientes para boa precisão.)
  • Valores numéricos usados (arredondados com precisão compatível com enunciado): \operatorname{erf}(0{,}1700)\approx 0{,}18999, \qquad \operatorname{erf}(0{,}4252)\approx 0{,}45174, \qquad \operatorname{erf}(0{,}8503)\approx 0{,}77077.(Esses valores são compatíveis com tabelas padrão de \operatorname{erf} e com aproximação por série; para a prova, use a tabela/calculadora disponível.)

Passo 6

Aplicar a fórmula e calcular C(x,t) para cada profundidade. Lembro a fórmula:
C(x,t) = C_s + (C_0 - C_s)\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right).
Substituindo C_s=0{,}80\% e C_0=0{,}25\% temos C_0-C_s = -0{,}55\%, então
C(x,t) = 0{,}80\% - 0{,}55\%\cdot \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right).
  • Para x=0{,}010\\ \mathrm{cm} ( \eta_1): C_1 = 0{,}80\% - 0{,}55\%\times 0{,}18999 = 0{,}80\% - 0{,}104495\% \approx 0{,}695505\% \approx 0{,}696\%.
  • Para x=0{,}025\\ \mathrm{cm} ( \eta_2): C_2 = 0{,}80\% - 0{,}55\%\times 0{,}45174 = 0{,}80\% - 0{,}248457\% \approx 0{,}551543\% \approx 0{,}552\%.
  • Para x=0{,}050\\ \mathrm{cm} ( \eta_3): C_3 = 0{,}80\% - 0{,}55\%\times 0{,}77077 = 0{,}80\% - 0{,}4239235\% \approx 0{,}3760765\% \approx 0{,}376\%.
Observação de interpretação: as concentrações diminuem com a profundidade e tendem para a concentração inicial 0{,}25\% conforme x cresce — aqui, mesmo a 0{,}05\\ \mathrm{cm} já houve enriquecimento em relação ao 0{,}25\% inicial.

Resposta

x=0{,}010\\ \mathrm{cm}:\; C=0{,}696\%
x=0{,}025\\ \mathrm{cm}:\; C=0{,}552\%
x=0{,}050\\ \mathrm{cm}:\; C=0{,}376\%

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