Questão 5 - Difusão Unidimensional em Corpo Semi-Infinito: Considere uma barra de aço de baixo carbono inicialmente homogênea, contendo
em peso de carbono em todo o seu interior. A barra é subitamente exposta a uma atmosfera carburante rica em carbono, e supõese que a concentração de carbono na superfície se mantenha constante e igual a
em peso durante todo o processo.
O tratamento ocorre durante 2 horas a uma temperatura na qual a difusividade do carbono no aço é:
Assuma que o aço pode ser tratado como um corpo semi-infinito, com difusão unidimensional a partir da superfície plana submetida ao meio carburante.
Pede-se determinar a concentração de carbono nas profundidades:
-
-
-
abaixo da superfície, após o período de tratamento.
abaixo da superfície, após o período de tratamento.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Dados fornecidos:
- Concentração inicial homogênea:
em peso. - Concentração mantida na superfície (constante):
em peso. - Difusividade:
- Tempo de tratamento:
- Corpo tratado como semi-infinito, difusão unidimensional a partir da superfície plana.
- Concentração inicial homogênea:
-
O que pede o enunciado:
- Determinar a concentração de carbono
nas profundidades: -
, -
, -
,
após o período dehoras.
-
- Determinar a concentração de carbono
-
Observações úteis antes de começar:
- Vou converter todas as profundidades para metros (SI) para usar com
em . - Conversões:
- Vou converter todas as profundidades para metros (SI) para usar com
Passo 2
Qual é a solução teórica que usaremos e por quê (aula rapidinha).
- Para difusão unidimensional em um corpo semi-infinito com concentração superficial mantida constante
e concentração inicial uniforme , a solução da equação de difusão (Lei de Fick, segunda lei) é: Onde: -
é a concentração no ponto e tempo . -
é a concentração constante na superfície (em ). -
é a concentração inicial no interior ( ). -
é a difusividade (m²/s). -
é a função erro (error function), definida por
-
- Intuição rápida: em
tem e então ; quando tem e . Perfeito para semi-infinito com superfície mantida.
Passo 3
Calcular o parâmetro comum
que aparece no argumento da
.
- Primeiro o produto
: - Raiz quadrada:
- Portanto
Passo 4
Calcular o argumento
da função erro para cada profundidade (mostrando a conversão que já listei no Passo 1).
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Calcular os valores da função erro
. (Explicação prática:
não tem forma elemental; na prova usa-se tabela de
ou calculadora. Aqui faço aproximações usando a expansão em série para pequenos argumentos e termos suficientes para boa precisão.)
- Valores numéricos usados (arredondados com precisão compatível com enunciado):
(Esses valores são compatíveis com tabelas padrão de e com aproximação por série; para a prova, use a tabela/calculadora disponível.)
Passo 6
Aplicar a fórmula e calcular
para cada profundidade. Lembro a fórmula:
Substituindo
e
temos
, então
- Para
( ): - Para
( ): - Para
( ):
Observação de interpretação: as concentrações diminuem com a profundidade e tendem para a concentração inicial
conforme
cresce — aqui, mesmo a
já houve enriquecimento em relação ao
inicial.