Considere uma solução aquosa de ácido cianídrico \left(\mathrm{HCN} 1,00 \times 10^{-4} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}\right) para fazer o solicitado abaixo:
a) Escreva todos os equilíbrio envolvidos na solução;
b) Escreva as equações das constantes de dissociação dos equilíbrios apresentados em a);
c) Calcular a \left[\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right]na solução desse ácido e a concentração de todos os íons presentes nesta solução. Dado \mathrm{K}_{\mathrm{a}}=4,9 \times 10^{-10}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas com a solução aquosa de ácido cianídrico de concentração inicial \mathrm{HCN}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} e \mathrm{K_a}=4{,}9\times10^{-10}:\n
  1. Escrever todos os equilíbrios envolvidos na solução.
  2. Escrever as equações das constantes de dissociação desses equilíbrios.
  3. Calcular \left[\mathrm{H_3O^+}\right] na solução e a concentração de todos os íons presentes.\n
    Informações e dados fornecidos: \mathrm{HCN}_{\text{inicial}}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{M} e \mathrm{K_a}=4{,}9\times10^{-10}. Assumiremos temperatura 25^\circ\mathrm{C} com \mathrm{K_w}=1{,}0\times10^{-14} (autoionização da água).
    Nada mais será pedido além disso; vou agora montar passo a passo os equilíbrios, as expressões de constantes e resolver numericamente incluindo o efeito da autoionização da água (importante porque a concentração do ácido é muito baixa).

Passo 2

Escrevendo todos os equilíbrios químicos relevantes (resposta à letra a):\n
\text{(1) Dissociação do ácido cianídrico:}\qquad \mathrm{HCN} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{H_3O^+} + \mathrm{CN^-}çãáí
\text{(2) Autoionização da água:}\qquad 2\,\mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{H_3O^+} + \mathrm{OH^-}çãá
Esses dois equilíbrios são suficientes para determinar as concentrações iônicas na solução diluída de um ácido fraco como HCN.

Passo 3

Escrevendo as equações das constantes de dissociação dos equilíbrios (resposta à letra b):\n
Para a dissociação do ácido, a constante de acidez \mathrm{K_a} é
\mathrm{K_a}=\dfrac{[\mathrm{H_3O^+}]\,[\mathrm{CN^-}]}{[\mathrm{HCN}]}.
Para a autoionização da água, a constante iônica da água \mathrm{K_w} é
\mathrm{K_w}=[\mathrm{H_3O^+}]\,[\mathrm{OH^-}].
Estas são as equações que iremos usar para relacionar as concentrações em equilíbrio.

Passo 4

Definindo incógnitas e montando o balanço químico (início da resolução numérica):\n
  • Seja C a concentração inicial de ácido: C=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{M}.
  • Seja x a fração (em M) de \mathrm{HCN} que se dissocia formando \mathrm{CN^-}. Então em equilíbrio teremos: [\mathrm{CN^-}]=x,
[\mathrm{HCN}]=C-x.
  • A água já contribui com [\mathrm{H_3O^+}]_{\text{água}}=1{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{M}á antes da dissociação do ácido (autoionização). Quando o ácido se dissocia, ele adiciona x a [\mathrm{H_3O^+}]. Portanto em equilíbrio: [\mathrm{H_3O^+}]=1{,}00\times10^{-7}+x.
  • Substituindo na expressão de \mathrm{K_a} obtemos a equação que determina x: \mathrm{K_a}=\dfrac{(1{,}00\times10^{-7}+x)\cdot x}{C-x}.

Passo 5

Transformando a expressão em uma equação algébrica que podemos resolver:\n
Multiplicando ambos os lados por C-x e reorganizando, obtemos
(1{,}00\times10^{-7}+x)\,x = \mathrm{K_a}\,(C-x).
Expandindo e colocando no formato de equação quadrática:
x^2 + (1{,}00\times10^{-7})\,x = \mathrm{K_a}\,C - \mathrm{K_a}\,x.
Agrupando termos em x:
x^2 + \bigl(1{,}00\times10^{-7} + \mathrm{K_a}\bigr)x - \mathrm{K_a}\,C = 0.
Agora substituímos numéricos: \mathrm{K_a}=4{,}9\times10^{-10} e C=1{,}00\times10^{-4}. Assim os coeficientes são
a=1,\qquad b=1{,}00\times10^{-7}+4{,}9\times10^{-10}=1{,}0049\times10^{-7},
c=-\mathrm{K_a}\,C=-(4{,}9\times10^{-10})(1{,}00\times10^{-4})=-4{,}9\times10^{-14}.

Passo 6

Resolvendo a quadrática para x (detalhes aritméticos):\n
Fórmula quadrática:
x=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
(escolhemos o sinal + na raiz porque c<0 e queremos a solução positiva fisicamente válida).\n
Calculando o discriminante:
b^2=(1{,}0049\times10^{-7})^2=1{,}009825\times10^{-14}
-4ac=-4\cdot1\cdot(-4{,}9\times10^{-14})=1{,}96\times10^{-13}
\Delta=b^2-4ac=1{,}009825\times10^{-14}+1{,}96\times10^{-13}=2{,}060\ldots\times10^{-13}.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta}\approx 4{,}539\times10^{-7}.
Portanto
x=\dfrac{-1{,}0049\times10^{-7}+4{,}539\times10^{-7}}{2}=\dfrac{3{,}5341\times10^{-7}}{2}=1{,}76705\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.
Arredondando com três algarismos significativos: x\approx 1{,}77\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.

Passo 7

Calculando as concentrações de equilíbrio de todas as espécies iônicas (passo final de cálculo):\n
  • [\mathrm{CN^-}]=x\approx 1{,}77\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.
    Em TeX: [\mathrm{CN^-}]=1{,}77\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.\n
  • [\mathrm{H_3O^+}]=1{,}00\times10^{-7}+x=1{,}00\times10^{-7}+1{,}76705\times10^{-7}=2{,}76705\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.
    Arredondando: [\mathrm{H_3O^+}]=2{,}77\times10^{-7}\\ \mathrm{M}.\n
  • [\mathrm{HCN}]=C-x=1{,}00\times10^{-4}-1{,}76705\times10^{-7}=9{,}98233\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
    Arredondando: [\mathrm{HCN}]=9{,}98\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.\n
  • [\mathrm{OH^-}] vem de \mathrm{K_w}=[\mathrm{H_3O^+}][\mathrm{OH^-}], então [\mathrm{OH^-}]=\dfrac{\mathrm{K_w}}{[\mathrm{H_3O^+}]}=\dfrac{1{,}0\times10^{-14}}{2{,}76705\times10^{-7}}\approx3{,}61\times10^{-8}\\ \mathrm{M}.
(Arredondei para três algarismos significativos: 3{,}61\times10^{-8}\\ \mathrm{M}).\n
Comentário de verificação: se tivéssemos ignorado a contribuição inicial da água e usado a aproximação x\approx\sqrt{\mathrm{K_a}C} obteríamos x\approx2{,}21\times10^{-7}, o que é razoavelmente próximo mas não tão preciso neste caso. Incluir a contribuição de 1{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{M} de [\mathrm{H_3O^+}] da água muda o resultado de modo perceptível, portanto a conta feita aqui (resolvendo a quadrática) é a correta para esta diluição.

Resposta

[\mathrm{H_3O^+}]=2{,}77\times10^{-7}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{CN^-}]=1{,}77\times10^{-7}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{HCN}]=9{,}98\times10^{-5}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{OH^-}]=3{,}61\times10^{-8}\\ \mathrm{M}

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