Uma solução ácida (HC) de concentração igual a 2,0 \times 10^{-6} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} possui constante de acidez (Ka) igual a 1,2 \times 10^{-7}. Determine as concentrações de íons \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}e o pH da solução.
Reação: \mathrm{HC}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \leftrightarrows \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}{ }_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{C}^{-}{ }_{(\mathrm{aq})}

Passo 1

O enunciado dá uma solução de ácido fraco HC com concentração inicial c_0 = 2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} e constante de acidez \mathrm{K_a} = 1{,}2\times10^{-7}. A reação é
\mathrm{HC}_{(aq)}+\mathrm{H_{2}O}_{(l)} \leftrightarrows \mathrm{H_{3}O^{+}}_{(aq)}+\mathrm{C^{-}}_{(aq)}.
Pede-se determinar a concentração de íons \mathrm{H_{3}O^{+}} na solução em equilíbrio e o pH correspondente.
Informações relevantes dadas:
  • concentração inicial do ácido: c_0 = 2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}};
  • constante de acidez: \mathrm{K_a} = 1{,}2\times10^{-7};
  • devemos lembrar que a água autoioniza em \mathrm{H_{3}O^{+}} e \mathrm{OH^{-}} com [\mathrm{H_{3}O^{+}}]_{água} = 1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}á em água pura a 25^\circ\mathrm{C}, valor que é do mesmo ordem de grandeza da concentração do ácido — então a contribuição da água pode ser importante.

Passo 2

Vamos modelar o equilíbrio com uma tabela ICE (Initial, Change, Equilibrium), incluindo a contribuição inicial de \mathrm{H_{3}O^{+}} vinda da água. Definimos y como a quantidade (em mol/L) de ácido que se dissocia. Então:
\begin{array}{l|ccc} & \mathrm{HC} & \mathrm{H_{3}O^{+}} & \mathrm{C^{-}}\\hline \text{inicial} & c_0 = 2{,}0\times10^{-6} & 1{,}0\times10^{-7} & 0\\\ \text{variação} & -y & +y & +y\\\ \text{equilíbrio} & c_0 - y & 1{,}0\times10^{-7} + y & y \end{array}çãí
Explicação didática: a água já fornece 1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} de \mathrm{H_{3}O^{+}}. Quando o ácido dissocia em quantidade y, ele aumenta \mathrm{H_{3}O^{+}} em y e gera y de \mathrm{C^{-}}. A concentração de HC no equilíbrio é c_0 - y.

Passo 3

A definição de constante de acidez é
\mathrm{K_a}=\frac{[\mathrm{H_{3}O^{+}}][\mathrm{C^{-}}]}{[\mathrm{HC}]}.
Substituindo as concentrações de equilíbrio da tabela:
\mathrm{K_a}=\frac{(1{,}0\times10^{-7}+y)\cdot y}{c_0 - y}.
Multiplicando ambos os lados por c_0 - y e organizando, obtemos a equação quadrática em y:
(1)\quad y^{2} + (1{,}0\times10^{-7}+\mathrm{K_a})\,y - \mathrm{K_a}\,c_0 = 0.
Aqui cada termo significa:
  • y^{2} vem do produto y\cdot y (termo não linear),
  • (1{,}0\times10^{-7}+\mathrm{K_a})\,y é o termo linear combinado,
  • -\mathrm{K_a}\,c_0 é o termo independente (negativo porque desloca a raiz para valor positivo de y).

Passo 4

Agora vamos colocar os números. Substituindo \mathrm{K_a}=1{,}2\times10^{-7} e c_0=2{,}0\times10^{-6} na equação (1):
Coeficientes:
a = 1, \qquad b = 1{,}0\times10^{-7} + 1{,}2\times10^{-7} = 2{,}2\times10^{-7}, \qquad c = -\mathrm{K_a}\,c_0 = -(1{,}2\times10^{-7})(2{,}0\times10^{-6}) = -2{,}4\times10^{-13}.
A solução positiva da quadrática é
y = \frac{-b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.
Calculamos o discriminante:
b^{2} = (2{,}2\times10^{-7})^{2} = 4{,}84\times10^{-14},
-4ac = -4\cdot1\cdot(-2{,}4\times10^{-13}) = 9{,}6\times10^{-13},
\Delta = b^{2}-4ac = 4{,}84\times10^{-14} + 9{,}6\times10^{-13} = 1{,}0084\times10^{-12}.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta} = \sqrt{1{,}0084\times10^{-12}} \approx 1{,}00419\times10^{-6}.
Logo
y = \frac{-2{,}2\times10^{-7} + 1{,}00419\times10^{-6}}{2} = \frac{7{,}8419\times10^{-7}}{2} \approx 3{,}92095\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Comentário: pegamos a raiz positiva porque y é quantidade dissociada (tem de ser não negativa).

Passo 5

A concentração total de \mathrm{H_{3}O^{+}} no equilíbrio é a soma da contribuição da água inicial e da dissociação do ácido:
[\mathrm{H_{3}O^{+}}] = 1{,}0\times10^{-7} + y = 1{,}0\times10^{-7} + 3{,}92095\times10^{-7} = 4{,}92095\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Arredondando para três algarismos significativos (consistente com os dados), temos
[\mathrm{H_{3}O^{+}}] \approx 4{,}92\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Agora o pH é definido por \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H_{3}O^{+}}]. Calculamos:
\log_{10}(4{,}92095\times10^{-7}) = \log_{10}(4{,}92095) + \log_{10}(10^{-7}) \approx 0{,}6920 - 7 = -6{,}3080,
portanto
\mathrm{pH} = -(-6{,}3080) \approx 6{,}3080 \approx 6{,}31.

Passo 6

Breve checagem física e aproximação prática: a aproximação usual para ácidos fracos diluídos é [\mathrm{H^{+}}]\approx\sqrt{\mathrm{K_a}\,c_0}. Se aplicarmos essa aproximação:
\sqrt{(1{,}2\times10^{-7})(2{,}0\times10^{-6})}=\sqrt{2{,}4\times10^{-13}}\approx 4{,}90\times10^{-7},
que é muito próximo de 4{,}92\times10^{-7}. A proximidade indica que, apesar de a água contribuir, o resultado fica bem próximo da fórmula quadrática simplificada aqui — mas é importante verificar a autoionização da água quando as concentrações são dessa ordem de grandeza.

Resposta

[\mathrm{H_{3}O^{+}}]=4{,}92\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
\mathrm{pH}=6{,}31

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