Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que:
- Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
b Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.
c Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
d Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
e
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
f Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
b Se
c Se
d Se
e
f Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo equações diferenciais e queremos entender como a solução
se comporta conforme o tempo
aumenta, dependendo do valor inicial
. A equação que estamos lidando é:
onde
e
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
a solução
se aproxima de certos valores quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação diferencial, ou seja, os valores de
para os quais
. Isso acontece quando qualquer um dos fatores no lado direito da equação é zero:
Vamos resolver cada uma dessas equações.
Passo 3
Resolvendo a primeira equação:
Então, temos duas soluções:
Resolvendo a segunda equação:
Essa é uma equação quadrática cuja solução é:
Então, temos uma única solução dupla:
.
Passo 4
Agora, identificamos os pontos de equilíbrio:
Nosso próximo passo é analisar a estabilidade desses pontos para entender para onde
tende conforme
aumenta.
Passo 5
Vamos analisar o sinal de
em intervalos determinados pelos pontos de equilíbrio:
-
Para
: -
(pois é positivo e maior que ) -
(pois é uma soma de termos positivos) - Portanto,
- Isso indica que
está diminuindo.
-
-
Para
: -
(pois é positivo, mas menor que ) -
- Portanto,
- Isso indica que
está aumentando.
-
-
Para
: -
(pois é positivo e também é positivo) -
(pois a expressão está sempre positiva) - Portanto,
- Isso indica que
está diminuindo, aproximando-se de .
-
-
Para
: -
(pois é grande e positivo) -
(mesmo que seja negativo, a expressão é positiva quando ) - Portanto,
- Isso indica que
está crescendo, ou seja, vai para .
-
Passo 6
Com base nessa análise:
- Se
: diminui em direção a . - Se
: aumenta em direção a . - Se
: diminui em direção a . - Se
: tende para .
Resposta
A alternativa correta é a b:
b) Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.