Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-(y^2-a2 y)(y^2+2 a y+a^2), para 0
Podemos afirmar que:
  • Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty.
    d Se -a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    e Se-a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a2, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    f Se -a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>a2, então a solução se aproxima de a2, quando t +infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo equações diferenciais e queremos entender como a solução dydt = -(y^2 - a2 y)(y^2 + 2 a y + a^2) se comporta conforme o tempo aumenta, dependendo do valor inicial . A equação que estamos lidando é:
onde e . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de a solução se aproxima de certos valores quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação diferencial, ou seja, os valores de para os quais . Isso acontece quando qualquer um dos fatores no lado direito da equação é zero:
Vamos resolver cada uma dessas equações.

Passo 3

Resolvendo a primeira equação:
y^2 - a2 y = 0 y ( y - a2 ) = 0
Então, temos duas soluções:
  • y^2 + 2 a y + a^2 = 0
  • y = -2a pm raiz(2a)^2 - 4 cdot 1 cdot a^22 y = -2a pm raiz4a^2 - 4a^22 y = -2a pm 02 y = -a
Resolvendo a segunda equação:
Essa é uma equação quadrática cuja solução é:
Então, temos uma única solução dupla: .

Passo 4

Agora, identificamos os pontos de equilíbrio:
Nosso próximo passo é analisar a estabilidade desses pontos para entender para onde tende conforme aumenta.

Passo 5

Vamos analisar o sinal de em intervalos determinados pelos pontos de equilíbrio:
  1. Para :
    • (pois é positivo e maior que )
    • (pois é uma soma de termos positivos)
    • Portanto,
    • Isso indica que está diminuindo.
  2. Para :
    • (pois é positivo, mas menor que )
    • Portanto,
    • Isso indica que está aumentando.
  3. Para :
    • (pois é positivo e também é positivo)
    • (pois a expressão está sempre positiva)
    • Portanto,
    • Isso indica que está diminuindo, aproximando-se de .
  4. Para :
    • (pois é grande e positivo)
    • (mesmo que seja negativo, a expressão é positiva quando )
    • Portanto,
    • Isso indica que está crescendo, ou seja, vai para .

Passo 6

Com base nessa análise:
  • Se : diminui em direção a .
  • Se : aumenta em direção a .
  • Se : diminui em direção a .
  • Se : tende para .

Resposta

A alternativa correta é a b:
b) Se , então a solução se aproxima de , quando . Se , então a solução se aproxima de , quando . Se ou , então , quando cresce.

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