Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt - (3 cos(t) + sen(t)) y = t e^(3t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(3*t)) / (2 * cos(t)) - (e^(3*t)) / (cos(t)).
b y(t) = (t * e^(3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(3t)) / cos(t) + e^(3t).
e) y(t) = (t^2 * e^(3*t)) / (2 * cos(t)) - 1.
C y = (e^(3t) sen(t))/cos(t) - (e^(3t))/cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(3 t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(3 t)) / cos(t) + e^(3 t).

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Esse problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolvê-lo, vamos precisar rearranjar a equação na forma padrão e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos toda a equação original por :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de P(t):
Desconsiderando a constante de integração C, temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando, o lado esquerdo se torna a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados com relação a t:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y(t):
Aplicando a condição inicial :
Portanto,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Isso corresponde à opção a).

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