Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-(y^2+a2 y)(y^2-a2 y-a^22), para 0
Podemos afirmar que
  • Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    b Se -a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2 ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
    d Se-a2, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    e Se-a2, então a solução se aproxima de -a2, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
    f Se -a2, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0<-a2, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.

Passo 1

Então, galera, aqui a gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A nossa missão é entender como a solução dessa equação se comporta quando o tempo vai para o infinito, dependendo do valor inicial . Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e analisar o comportamento das soluções com base nos pontos de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de equilíbrio da equação diferencial. Esses são os valores de dydt = -(y^2+a2 y)(y^2-a2 y-a^22) onde y = a2 pm raiz(a2)^2 + 2a^22 = a2 pm raiza^24 + 2a^22 = a2 pm araiz922 = a2 pm 3a22 . Olhando para a equação:
Para que , pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, resolvemos:

  1. Fatorando:
    Soluções: e

  2. Usando a fórmula de Bhaskara:
    Assim, e
Então, temos pontos de equilíbrio em , , , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio para entender para onde as soluções se dirigem quando cresce.
  • Para : A derivada é negativa, então diminui, tendendo a .
  • Para : A derivada é negativa, levando a .
  • Para : A derivada é positiva, então aumenta, tendendo a .
  • Para : A derivada é negativa, fazendo diminuir sem limite, ou seja, tendendo a menos infinito.
  • Em e : São pontos de equilíbrio; as soluções permanecem nesses valores se iniciarem exatamente neles.

Passo 4

Com base nessa análise, vamos verificar as alternativas:
  • Alternativa a: Afirma que se , tende a ; se , tende a ; e se , tende a infinito. Isso está de acordo com nossa análise.
  • Alternativas b a f: A maioria tem diferenças sutis nas condições ou nos limites para onde tende. Contudo, a alternativa a corresponde exatamente ao que encontramos.

Resposta

A alternativa correta é a a.

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