Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que
- Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
b Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.
c Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
d
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
e
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
f Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
b Se
c Se
d
e
f Se
Passo 1
Então, galera, aqui a gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A nossa missão é entender como a solução dessa equação se comporta quando o tempo
vai para o infinito, dependendo do valor inicial
. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e analisar o comportamento das soluções com base nos pontos de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de equilíbrio da equação diferencial. Esses são os valores de
onde
. Olhando para a equação:
Para que
, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Então, resolvemos:
-
Fatorando:
Soluções:e -
Usando a fórmula de Bhaskara:Assim,e
Então, temos pontos de equilíbrio em
,
,
, e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio para entender para onde as soluções se dirigem quando
cresce.
- Para
: A derivada é negativa, então diminui, tendendo a . - Para
: A derivada é negativa, levando a . - Para
: A derivada é positiva, então aumenta, tendendo a . - Para
: A derivada é negativa, fazendo diminuir sem limite, ou seja, tendendo a menos infinito. - Em
e : São pontos de equilíbrio; as soluções permanecem nesses valores se iniciarem exatamente neles.
Passo 4
Com base nessa análise, vamos verificar as alternativas:
-
Alternativa a: Afirma que se
, tende a ; se , tende a ; e se , tende a infinito. Isso está de acordo com nossa análise. -
Alternativas b a f: A maioria tem diferenças sutis nas condições ou nos limites para onde
tende. Contudo, a alternativa a corresponde exatamente ao que encontramos.
Resposta
A alternativa correta é a a.