Considere a=\sqrt[3]{5}-2.
(a) ( 0,75 ponto) Determine o inverso de \alpha em \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}].
(b) (0,75 ponto) Calcule o grau da extensão \mathbb{Q}\left[\alpha^{-1}\right].

Passo 1

O enunciado dá \alpha=\sqrt[3]{5}-2 e pede duas coisas:
(a) Determine o inverso de \alpha no corpo \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}], ou seja, encontre \alpha^{-1} escrito como elemento de \mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}].
(b) Calcule o grau da extensão \mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big] sobre \mathbb{Q}.
Informações relevantes dadas: o elemento \sqrt[3]{5} satisfaz a equação \big(\sqrt[3]{5}\big)^3=5. Não há figura ou tabela. A resolução começará no Passo 2.

Passo 2

Vamos achar \alpha^{-1}. Para simplificar a notação, defina x=\sqrt[3]{5}. Assim \alpha=x-2 e queremos \dfrac{1}{x-2} expressa em termos de 1,x,x^2 com coeficientes racionais (porque \{1,x,x^2\} é uma base de \mathbb{Q}(x)=\mathbb{Q}[\sqrt[3]{5}] sobre \mathbb{Q}, já que o polinómio mínimo de x tem grau 3 — mais sobre isso no Passo 4). Então tentamos escrever
\frac{1}{x-2}=A+Bx+Cx^2
com A,B,C\in\mathbb{Q}. Multiplicando ambos os lados por x-2 obtemos a igualdade polinomial
1=(A+Bx+Cx^2)(x-2).

Passo 3

Expandimos o produto da direita e usamos que x^3=5:
\begin{aligned} (A+Bx+Cx^2)(x-2) &= A x -2A + B x^2 -2B x + C x^3 -2C x^2\\\ &= (-2A + C x^3) + (A-2B)x + (B-2C)x^2. \end{aligned}
Substituindo x^3=5 obtemos os coeficientes em termos de A,B,C:
\text{termo constante: } -2A+5C,\qquad \text{coeficiente de }x: A-2B,\qquad \text{coeficiente de }x^2: B-2C.
Como a soma deve ser 1+0\cdot x+0\cdot x^2, igualamos coeficientes e temos o sistema linear
\begin{cases} -2A+5C=1,\\[4pt] A-2B=0,\\[4pt] B-2C=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema: da segunda equação A=2B. Da terceira B=2C. Substituindo em A=2B A=2(2C)=4C. Agora plugamos em -2A+5C=1:
-2(4C)+5C=1 \quad\Rightarrow\quad -8C+5C=1 \quad\Rightarrow\quad -3C=1 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{1}{3}.
Então
B=2C=-\frac{2}{3},\qquad A=4C=-\frac{4}{3}.
Logo
\frac{1}{x-2}=A+Bx+Cx^2=-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}x^2.
Fatorando um -\tfrac{1}{3} podemos escrever de forma compacta:
\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{3}\big(4+2x+x^2\big).
Voltando à notação original x=\sqrt[3]{5}, concluímos que
\alpha^{-1}=-\frac{1}{3}\Big(4+2\sqrt[3]{5}+(\sqrt[3]{5})^2\Big).

Passo 5

Agora o grau da extensão \mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big]. Observação prática: \alpha^{-1} pertence a \mathbb{Q}[x] (vemos a expressão no Passo 4), portanto \mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big]\subseteq\mathbb{Q}(x). Por outro lado, \alpha=x-2 e x=\alpha+2; se \alpha^{-1} gera um corpo que contém \alpha^{-1} então também contém seu inverso \alpha (pois a inversa de um elemento invertível do corpo também pertence ao corpo). Logo \alpha\in\mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big], e assim x=\alpha+2\in\mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big]. Portanto \mathbb{Q}(x)\subseteq\mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big]. Com isso concluímos que
\mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big]=\mathbb{Q}(x)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}).

Passo 6

Falta apenas o grau do corpo \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}) sobre \mathbb{Q}. O elemento x=\sqrt[3]{5} satisfaz o polinómio t^3-5\in\mathbb{Q}[t]. Este polinómio é irreducível sobre \mathbb{Q} por Eisenstein com o primo 5 (pois 5\mid 5, 5\nmid 1 coeficiente líder, e 5^2\nmid 5), portanto é o polinómio mínimo de x. Assim o grau da extensão é o grau do polinómio mínimo, isto é 3. Consequentemente
[\mathbb{Q}\big(\alpha^{-1}\big):\mathbb{Q}]=3.

Resposta

\displaystyle \alpha^{-1}=-\frac{1}{3}\Big(4+2\sqrt[3]{5}+(\sqrt[3]{5})^2\Big)
\displaystyle [\mathbb{Q}(\alpha^{-1}):\mathbb{Q}]=3

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