Considere a equação diferencial de segunda ordem
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=0
a) (0,6) Verifique que as funções f_{1}(x)=e^{2 x} e f_{2}(x)=e^{4 x} são soluções de (1).
b) (1,0) Verifique que as funções dadas no item anterior formam um conjunte fundamental de soluções da equação (1) no intervalo (-\infty,+\infty).
c) (0,9) Construa a solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''-6y'+8y=0
e pede três coisas:
  1. Verificar que as funções \,f_{1}(x)=e^{2x}\, e \,f_{2}(x)=e^{4x}\, são soluções da equação (parte a).
  2. Verificar que essas duas funções formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (-\infty,+\infty) (parte b).
  3. Construir a solução geral da equação (parte c).
As informações relevantes fornecidas são: a equação diferencial homogênea de coeficientes constantes e as duas funções \,f_{1} e \,f_{2} que devem ser testadas.

Passo 2

Verificação de \,f_{1}(x)=e^{2x}\, (parte a). Primeiro calculo as derivadas de \,f_{1}:
f_{1}'(x)=2e^{2x},\qquad f_{1}''(x)=4e^{2x}.
Agora substituo f_{1},f_{1}',f_{1}'' na equação diferencial:
f_{1}''-6f_{1}'+8f_{1}=4e^{2x}-6\cdot(2e^{2x})+8e^{2x}.
Efetuando as operações dentro do colchete:
4e^{2x}-12e^{2x}+8e^{2x}=(4-12+8)e^{2x}=0\cdot e^{2x}=0.
Como o lado esquerdo fica 0 para todo x, concluímos que \,f_{1}(x)=e^{2x}\, é solução da equação.
(Observação didática rápida: em cada passo aqui eu fatoro e^{2x} porque é comum a todos os termos; e \,e^{2x}\neq0 para todo x, então só resta verificar o coeficiente entre parênteses.)

Passo 3

Verificação de \,f_{2}(x)=e^{4x}\, (parte a). Calculo as derivadas de \,f_{2}:
f_{2}'(x)=4e^{4x},\qquad f_{2}''(x)=16e^{4x}.
Substituo na equação diferencial:
f_{2}''-6f_{2}'+8f_{2}=16e^{4x}-6\cdot(4e^{4x})+8e^{4x}.
Faço as operações:
16e^{4x}-24e^{4x}+8e^{4x}=(16-24+8)e^{4x}=0\cdot e^{4x}=0.
Portanto \,f_{2}(x)=e^{4x}\, também é solução da equação para todo x.

Passo 4

Explicação sobre “conjunto fundamental” e teste de independência linear (parte b). Para uma equação linear homogênea de segunda ordem, duas soluções formam um conjunto fundamental no intervalo considerado se forem linearmente independentes nesse intervalo. Uma ferramenta prática para testar independência linear é o Wronskiano: para duas funções y_{1},y_{2} ele é definido por
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix} = y_{1}(x)\,y_{2}'(x)-y_{2}(x)\,y_{1}'(x).
Se W(y_{1},y_{2})(x_{0})\neq0 para algum x_{0} do intervalo (ou para todo x do intervalo), então y_{1} e y_{2} são linearmente independentes ali, e portanto formam um conjunto fundamental.]

Passo 5

Cálculo do Wronskiano para \,f_{1}=e^{2x}\, e \,f_{2}=e^{4x}:
W(f_{1},f_{2})(x)= \begin{vmatrix} e^{2x} & e^{4x}\\[4pt] 2e^{2x} & 4e^{4x} \end{vmatrix} = e^{2x}\cdot 4e^{4x}-e^{4x}\cdot 2e^{2x}.
Faço a fatoração dos expoentes (lembre que e^{a}e^{b}=e^{a+b}):
W(f_{1},f_{2})(x)=(4-2)\,e^{2x}e^{4x}=2\,e^{6x}.
Como \,e^{6x}>0 para todo x\in(-\infty,+\infty), temos \,W(f_{1},f_{2})(x)=2e^{6x}\neq0 para todo x real. Logo \,f_{1} e \,f_{2} são linearmente independentes em (-\infty,+\infty) e, por isso, formam um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.]

Passo 6

Construção da solução geral (parte c). Método e justificativa: para equações lineares com coeficientes constantes é habitual procurar soluções do tipo \,y=e^{rx}\,. Se y=e^{rx} então
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^{2}e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial obtemos
r^{2}e^{rx}-6r e^{rx}+8e^{rx}=(r^{2}-6r+8)\,e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0 para todo x, devemos ter
r^{2}-6r+8=0.
Resolvo essa equação quadrática. Ela fatoriza como
r^{2}-6r+8=(r-2)(r-4)=0,
portanto as raízes são \,r_{1}=2 e \,r_{2}=4. Quando as raízes são reais distintas, a teoria garante que as duas funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são soluções linearmente independentes e que a solução geral da equação é a combinação linear
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Substituindo os valores das raízes, obtenho a solução geral
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{4x},
onde \,C_{1} e \,C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Resposta

a) As funções \,f_{1}(x)=e^{2x} e \,f_{2}(x)=e^{4x} são soluções da equação diferencial.
b) Elas formam um conjunto fundamental em (-\infty,+\infty), pois o Wronskiano é \,W(f_{1},f_{2})(x)=2e^{6x}\neq0 para todo x.
c) A solução geral é \,y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{4x}.

Exercícios relacionados