a) (1,0) Defina o que é uma equação linear e descreva seu método de resolução.
b) (1,5) Usando o método explicado anteriormente, encontre uma solução explícita para equação diferencial:
y^{\prime}=4 y+7 x+6

Passo 1

(a) O enunciado pede que eu defina o que é uma equação linear e descreva o método de resolução.
(b) O enunciado pede que eu, usando o método explicado em (a), encontre uma solução explícita para a equação diferencial dada.
Informações fornecidas: a equação diferencial a resolver é
y' = 4y + 7x + 6.

Passo 2

O que significa dizer que uma equação é “linear” (no contexto de equações diferenciais de primeira ordem). Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de linear se puder ser escrita na forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde:
  • y é a função incógnita que depende de x,
  • y' é a derivada de y em relação a x,
  • P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x (podem ser constantes ou funções mais gerais).
Explicação do que significa “linear”: aqui “linear” quer dizer que y e y' aparecem apenas com expoente 1 e sem produtos entre y e y' nem funções não-lineares de y (como y^2, \sin y, yy', etc.). Exemplos rápidos:
\text{Linear: }\; y' - 3y = \sin x.
\text{Não linear: }\; y' = y^2 + x.ã

Passo 3

Descrição didática do método de resolução (método do fator integrante), passo a passo com motivação:
  1. Objetivo: transformar a equação em uma forma cuja esquerda seja a derivada de um produto \mu(x)\,y, porque então basta integrar dos dois lados.
  2. Colocar a equação na forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x).
  1. Definir o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}.
Por que isso? Porque se escolhermos \mu satisfazendo \mu' = P(x)\mu, então
(\mu y)' = \mu y' + \mu' y = \mu y' + P(x)\mu y = \mu\bigl(y' + P(x)y\bigr).
Ou seja, multiplicando a equação padrão por \mu a esquerda vira exatamente (\mu y)'.
  1. Multiplicamos a equação padrão por \mu(x), obtemos
(\mu y)' = \mu Q(x).
  1. Integramos em x:
\mu(x)\,y(x) = \int \mu(x)\,Q(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Finalmente isolamos y:
y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)\,Q(x)\,dx + C\right).
Observações pedagógicas: cada passo é mecânico — colocar na forma padrão, calcular \mu, multiplicar, integrar e isolar y. A parte que costuma dar trabalho é a integração \int \mu Q, que às vezes exige integração por partes ou decomposição.

Passo 4

Aplicando o método à equação dada. Primeiro escrevemos a equação na forma padrão. Partimos de
y' = 4y + 7x + 6.
Passando o termo 4y para o lado esquerdo:
y' - 4y = 7x + 6.
Assim identificamos
P(x) = -4,\qquad Q(x)=7x+6.

Passo 5

Calcular o fator integrante \mu(x). Pela fórmula:
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int -4\,dx}=e^{-4x}.
Verificação rápida: \mu'(x) = -4 e^{-4x} = P(x)\mu(x), como queríamos.

Passo 6

Multiplicar a equação padrão por \mu(x). Temos
e^{-4x}y' - 4 e^{-4x} y = (7x+6)e^{-4x}.
Pela construção do fator integrante, a esquerda é a derivada do produto:
\bigl(e^{-4x}y\bigr)' = (7x+6)e^{-4x}.

Passo 7

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{-4x}y\bigr)'\,dx = \int (7x+6)e^{-4x}\,dx.
A integral à esquerda dá simplesmente e^{-4x}y. Logo
e^{-4x}y = \int (7x+6)e^{-4x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Calcular a integral \int (7x+6)e^{-4x}\,dx. Fazemos separando:
\int (7x+6)e^{-4x}\,dx = 7\int x e^{-4x}\,dx + 6\int e^{-4x}\,dx.
Primeiro \int x e^{-4x}\,dx: usaremos integração por partes. Seja u=x e dv = e^{-4x}dx. Então du = dx e v = \int e^{-4x}dx = -\tfrac{1}{4}e^{-4x}. Aplicando \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x e^{-4x}\,dx = x\left(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right)\,dx = -\tfrac{1}{4}x e^{-4x} + \tfrac{1}{4}\int e^{-4x}\,dx.
Mas \int e^{-4x}\,dx = -\tfrac{1}{4}e^{-4x}. Portanto
\int x e^{-4x}\,dx = -\tfrac{1}{4}x e^{-4x} + \tfrac{1}{4}\left(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right) = -\tfrac{1}{4}x e^{-4x} - \tfrac{1}{16}e^{-4x}.
Agora multiplicamos por 7:
7\int x e^{-4x}\,dx = -\tfrac{7}{4}x e^{-4x} - \tfrac{7}{16}e^{-4x}.
E o segundo termo:
6\int e^{-4x}\,dx = 6\left(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right) = -\tfrac{3}{2}e^{-4x}.
Somando as duas contribuições:
\int (7x+6)e^{-4x}\,dx = -\tfrac{7}{4}x e^{-4x} - \tfrac{7}{16}e^{-4x} - \tfrac{3}{2}e^{-4x} + C.
Juntando os termos que multiplicam e^{-4x}:
-\tfrac{7}{16} - \tfrac{3}{2} = -\tfrac{7}{16} - \tfrac{24}{16} = -\tfrac{31}{16},
logo
\int (7x+6)e^{-4x}\,dx = -\tfrac{7}{4}x e^{-4x} - \tfrac{31}{16}e^{-4x} + C.

Passo 9

Retornando à relação da Passo 7:
e^{-4x}y = -\tfrac{7}{4}x e^{-4x} - \tfrac{31}{16}e^{-4x} + C.
Multiplicando ambos os lados por e^{4x} para isolar y:
y(x) = -\tfrac{7}{4}x - \tfrac{31}{16} + C e^{4x}.
Aqui C é uma constante arbitrária real (resultado da integração). Podemos reescrever a solução geral como
y(x) = C e^{4x} - \tfrac{7}{4}x - \tfrac{31}{16},\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 10

Verificação rápida (boa prática de prova): derivando a solução obtida,
y'(x) = 4C e^{4x} - \tfrac{7}{4}.
Calcule 4y+7x+6:
4y+7x+6 = 4\bigl(C e^{4x} - \tfrac{7}{4}x - \tfrac{31}{16}\bigr) + 7x + 6 = 4C e^{4x} -7x - \tfrac{31}{4} + 7x + 6 = 4C e^{4x} - \tfrac{31}{4} + \tfrac{24}{4} = 4C e^{4x} - \tfrac{7}{4},
que é exatamente y'(x). Portanto a solução está correta.

Resposta

(a) Uma equação diferencial de primeira ordem é linear quando pode ser escrita na forma \;y'+P(x)y=Q(x)\;, ou seja, y e y' aparecem apenas de forma linear. O método padrão de resolução é o fator integrante: calcular \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}, multiplicar a equação por \mu, escrever a esquerda como (\mu y)', integrar e isolar y.
(b) \displaystyle y(x)=C e^{4x}-\tfrac{7}{4}x-\tfrac{31}{16},\; C\in\mathbb{R}.

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