a)
Defina o que é uma equação linear e descreva seu método de resolução.
b)
Usando o método explicado anteriormente, encontre uma solução explícita para equação diferencial:
b)
Passo 1
(a) O enunciado pede que eu defina o que é uma equação linear e descreva o método de resolução.
(b) O enunciado pede que eu, usando o método explicado em (a), encontre uma solução explícita para a equação diferencial dada.
Informações fornecidas: a equação diferencial a resolver é
(b) O enunciado pede que eu, usando o método explicado em (a), encontre uma solução explícita para a equação diferencial dada.
Informações fornecidas: a equação diferencial a resolver é
Passo 2
O que significa dizer que uma equação é “linear” (no contexto de equações diferenciais de primeira ordem). Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de linear se puder ser escrita na forma padrão
onde:
-
é a função incógnita que depende de , -
é a derivada de em relação a , -
e são funções conhecidas de (podem ser constantes ou funções mais gerais).
Explicação do que significa “linear”: aqui “linear” quer dizer que
e
aparecem apenas com expoente
e sem produtos entre
e
nem funções não-lineares de
(como
,
,
, etc.). Exemplos rápidos:
Passo 3
Descrição didática do método de resolução (método do fator integrante), passo a passo com motivação:
- Objetivo: transformar a equação em uma forma cuja esquerda seja a derivada de um produto
, porque então basta integrar dos dois lados. - Colocar a equação na forma padrão
- Definir o fator integrante
como
Por que isso? Porque se escolhermos
satisfazendo
, então
Ou seja, multiplicando a equação padrão por
a esquerda vira exatamente
.
- Multiplicamos a equação padrão por
, obtemos
- Integramos em
:
onde
é a constante de integração. Finalmente isolamos
:
Observações pedagógicas: cada passo é mecânico — colocar na forma padrão, calcular
, multiplicar, integrar e isolar
. A parte que costuma dar trabalho é a integração
, que às vezes exige integração por partes ou decomposição.
Passo 4
Aplicando o método à equação dada. Primeiro escrevemos a equação na forma padrão. Partimos de
Passando o termo
para o lado esquerdo:
Assim identificamos
Passo 5
Calcular o fator integrante
. Pela fórmula:
Verificação rápida:
, como queríamos.
Passo 6
Multiplicar a equação padrão por
. Temos
Pela construção do fator integrante, a esquerda é a derivada do produto:
Passo 7
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda dá simplesmente
. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Calcular a integral
. Fazemos separando:
Primeiro
: usaremos integração por partes. Seja
e
. Então
e
. Aplicando
:
Mas
. Portanto
Agora multiplicamos por
:
E o segundo termo:
Somando as duas contribuições:
Juntando os termos que multiplicam
:
logo
Passo 9
Retornando à relação da Passo 7:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Aqui
é uma constante arbitrária real (resultado da integração). Podemos reescrever a solução geral como
Passo 10
Verificação rápida (boa prática de prova): derivando a solução obtida,
Calcule
:
que é exatamente
. Portanto a solução está correta.
Resposta
(a) Uma equação diferencial de primeira ordem é linear quando pode ser escrita na forma
, ou seja,
e
aparecem apenas de forma linear. O método padrão de resolução é o fator integrante: calcular
, multiplicar a equação por
, escrever a esquerda como
, integrar e isolar
.
(b)
(b)