Dado
é simétrica
:
(a) Mostre que
é um subespaço de
.
(b) Encontre uma base para
.
(c) Qual é a dimensão de
?
(d) Mostre que
é simétrica
.
(a) Mostre que
(b) Encontre uma base para
(c) Qual é a dimensão de
(d) Mostre que
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede:
(a) mostrar que é subespaço de
,
(b) encontrar uma base de ,
(c) determinar ,
(d) generalizar e provar que
.
O conteúdo usado será teoria de subespaços vetoriais, definição de base e dimensão, e contagem de graus de liberdade em matrizes simétricas.
(a) mostrar que
(b) encontrar uma base de
(c) determinar
(d) generalizar e provar que
O conteúdo usado será teoria de subespaços vetoriais, definição de base e dimensão, e contagem de graus de liberdade em matrizes simétricas.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço de
verificamos três condições:
. A matriz zero
é simétrica, logo
.
. Sejam
. Então
e
. Logo
ou seja,
também é simétrica e pertence a
.
. Se
e
, então
logo
.
Essas três propriedades garantem que é subespaço de
.
Essas três propriedades garantem que
Passo 3
Uma matriz genérica simétrica
tem a forma
com
. Podemos escrever
Assim, os três matrizes
são linearmente independentes e geram
. Portanto
é uma base de
.]
Passo 4
Como a base de
tem exatamente três elementos, conclui-se que
Isto responde ao item (c).
Passo 5
No caso geral de matrizes
simétricas, os elementos livres são os
da diagonal e os
acima da diagonal (os de baixo são iguais por simetria). Somando, obtemos
Isso prova o item (d).
Resposta
(a)
é subespaço por conter a matriz zero e ser fechado sob soma e escalar.
(b) Uma base é
(c)
(d)
(b) Uma base é
(c)
(d)