Considere os subconjuntos dos respectivos espaços dados abaixo. Descubra qual deles é base. Se não for base, diga o motivo. Qual é a dimensão dos subespaços gerados?
\{(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,0,1),(0,0,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\subset\mathbb{R}^4, onde
v_1=(1,0,1,0),\quad v_2=(0,1,0,1),\quad v_3=(1,1,0,1),\quad v_4=(0,0,1,1),
e pede para verificar se esse conjunto é uma base de \mathbb{R}^4 e qual a dimensão do subespaço que ele gera. Para isso vamos testar a independência linear e usar o fato de que, em \mathbb{R}^4, um conjunto de quatro vetores independentes é automaticamente uma base.

Passo 2

Suponha que exista combinação linear nula
\alpha\,v_1+\beta\,v_2+\gamma\,v_3+\delta\,v_4=0.
Isso gera um sistema de equações ao igualar componente a componente a zero.

Passo 3

Escrevendo as componentes, obtemos
1ª coordenada: \alpha+\gamma=0
2ª coordenada: \beta+\gamma=0
3ª coordenada: \alpha+\delta=0
4ª coordenada: \beta+\gamma+\delta=0

Passo 4

Da 1ª equação segue \alpha=-\gamma; da 2ª, \beta=-\gamma; da 3ª, \delta=-\alpha=\gamma. Substituindo na 4ª:
\beta+\gamma+\delta = (-\gamma)+\gamma+\gamma = \gamma = 0.
Logo \gamma=0 e, consequentemente, \alpha=\beta=\delta=0. Não há combinação não trivial, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos quatro vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^4, eles formam uma base de \mathbb{R}^4. O subespaço gerado é \mathbb{R}^4 e sua dimensão é 4.

Resposta

O conjunto é base de \mathbb{R}^4 e a dimensão do subespaço que gera é 4.

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