Considere os subconjuntos dos respectivos espaços dados abaixo. Descubra qual deles é base. Se não for base, diga o motivo. Qual é a dimensão dos subespaços gerados?
.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
, onde
e pede para verificar se esse conjunto é uma base de
e qual a dimensão do subespaço que ele gera. Para isso vamos testar a independência linear e usar o fato de que, em
, um conjunto de quatro vetores independentes é automaticamente uma base.
Passo 2
Suponha que exista combinação linear nula
Isso gera um sistema de equações ao igualar componente a componente a zero.
Passo 3
Escrevendo as componentes, obtemos
1ª coordenada:
2ª coordenada:
3ª coordenada:
4ª coordenada:
1ª coordenada:
2ª coordenada:
3ª coordenada:
4ª coordenada:
Passo 4
Da 1ª equação segue
; da 2ª,
; da 3ª,
. Substituindo na 4ª:
Logo
e, consequentemente,
. Não há combinação não trivial, logo os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos quatro vetores linearmente independentes em
, eles formam uma base de
. O subespaço gerado é
e sua dimensão é 4.
Resposta
O conjunto é base de
e a dimensão do subespaço que gera é 4.