Sejam S_{1} e S_{2} dois subespaços do espaço vetorial V, tais que S_{1} \cap S_{2}=\{0\} e S_{1}+S_{2}=V. Se \beta_{1}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{p}\right\} é base de S_{1} e \beta_{2}=\left\{w_{1}, \ldots, w_{q}\right\} é base de S_{2}, mostre que:
(a) Se w \in S_{2}, então w só é combinação linear de \beta_{1} se w=0.
(b) Se w \in S_{2} e w \neq 0, então \left\{v_{1}, \ldots, v_{p}, w\right\} é LI.
(c) \beta_{1} \cup \beta_{2} é LI.
(d) \beta_{1} \cup \beta_{2} é uma base de V.
(e) \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} S_{1}+\operatorname{dim} S_{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços S_{1} e S_{2} de um espaço vetorial V tais que
S_{1}\cap S_{2}=\{0\}
e
S_{1}+S_{2}=V.
As bases são \beta_{1}=\{v_{1},\dots,v_{p}\} de S_{1} e \beta_{2}=\{w_{1},\dots,w_{q}\} de S_{2}. Precisamos usar definições de combinação linear, independência linear e a propriedade de soma direta (interseção trivial) para provar os itens (a)–(e).

Passo 2

Queremos (a) mostrar que, se w\in S_{2} e
w=\sum_{i=1}^{p}a_{i}v_{i},
então w=0. Note que a combinação \sum a_{i}v_{i} está em S_{1}, mas w\in S_{2}, logo w\in S_{1}\cap S_{2}. Como essa interseção é \{0\}, segue w=0.

Passo 3

Para (b) tomemos w\in S_{2}, w\neq0, e suponhamos
\sum_{i=1}^{p}a_{i}v_{i}+b\,w=0.
Se b\neq0, então
w=-\frac{1}{b}\sum_{i=1}^{p}a_{i}v_{i},
o que contradiz (a) pois daria w=0. Logo b=0 e então \sum a_{i}v_{i}=0. Como \beta_{1} é LI, cada a_{i}=0. Portanto \{v_{1},\dots,v_{p},w\} é LI.

Passo 4

Para (c) suponhamos
\sum_{i=1}^{p}a_{i}v_{i}+\sum_{j=1}^{q}b_{j}w_{j}=0.
O primeiro somatório está em S_{1} e o segundo em S_{2}, então cada um representa o mesmo vetor em S_{1}\cap S_{2}, logo ambos são zero. Da independência de \beta_{1} e de \beta_{2} segue a_{i}=0 e b_{j}=0 para todos i,j. Assim \beta_{1}\cup\beta_{2} é LI.

Passo 5

Para (d) tomemos v\in V. Como V=S_{1}+S_{2}, existem v_{1}\in S_{1} e v_{2}\in S_{2} tais que v=v_{1}+v_{2}. Então v_{1} é combinação de \beta_{1} e v_{2} de \beta_{2}, e assim v é combinação de \beta_{1}\cup\beta_{2}. Juntando com a LI de (c), concluímos que \beta_{1}\cup\beta_{2} é base de V.

Passo 6

Para (e) basta observar que \beta_{1}\cup\beta_{2} é base de V e tem p+q vetores. Logo
\dim V = p+q = \dim S_{1} + \dim S_{2}.

Resposta

(a) Se w\in S_{2} e w é combinação de \beta_{1}, então w=0.
(b) Se w\in S_{2}, w\neq0, então \{v_{1},\dots,v_{p},w\} é LI.
(c) \beta_{1}\cup\beta_{2} é LI.
(d) \beta_{1}\cup\beta_{2} é base de V.
(e) \dim V = \dim S_{1} + \dim S_{2}.

Exercícios relacionados