Considere os subconjuntos dos respectivos espaços dados abaixo. Descubra qual deles é base. Se não for base, diga o motivo. Qual é a dimensão dos subespaços gerados? \left\{t^{2}+t+1,2 t-1\right\} \subset P_{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto \{\,t^{2}+t+1,\;2t-1\}\subset P_{2}, onde P_{2} é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2.
Pergunta-se se esse conjunto é base de P_{2} (ou de algum subespaço) e qual a dimensão do subespaço que ele gera.
Para resolver isso, precisamos avaliar linearidade independente e capacidade de geração (span).
Passo 2
Vamos checar se os vetores são linearmente independentes. Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
Isso gera igualdade de coeficientes em cada potência de t:
\begin{cases} \text{coef.\\ de }t^2: & a = 0,\\\ \text{coef.\\ de }t: & a + 2b = 0,\\\ \text{termo constante:}& a - b = 0. \end{cases}
Passo 3
Da primeira equação vem a=0. Substituindo em a+2b=0 dá 2b=0\Rightarrow b=0. A terceira equação a-b=0 também fica 0-0=0.
Logo a única solução é a=b=0, o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 4
Como temos dois vetores linearmente independentes, o subespaço gerado por eles
W = \operatorname{span}\{\,t^{2}+t+1,\;2t-1\}
tem dimensão \dim(W)=2.
Entretanto \dim(P_{2})=3, então não podem gerar todo P_{2}. Portanto não são base de P_{2}, apenas formam base do subespaço W.
Resposta
O conjunto não é base de P_{2} porque não gera todo P_{2} (\dim=3), mas é base do subespaço que ele mesmo gera, cujo dimensão é 2.