Considere o subespaço U=L\{(1,1,1,1),(1,0,1,0)\} de R4 .
a) Obtenha uma base ortonormada para U.
b) Determine a projeção ortogonal de (0,1,0,2) sobre U.
c) Qual a distância de (0,1,0,2) a U?
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
U = \mathrm{span}\{(1,1,1,1),(1,0,1,0)\}\subset\mathbb{R}^4
e pede:
– (a) uma base ortonormada de U;
– (b) a projeção ortogonal de p=(0,1,0,2) em U;
– (c) a distância de p a U.
O conteúdo envolvido é o produto interno em \mathbb{R}^4, o processo de Gram–Schmidt para obter base ortonormal, a fórmula de projeção ortogonal e a norma de um vetor.
Passo 2
Aplicamos Gram–Schmidt aos geradores \,v_1=(1,1,1,1) e v_2=(1,0,1,0).
Calculemos primeiro