Considere o subespaço vetorial W subset mathscrP4 gerado pelo conjunto beta=1+2 x+x^2+3 x^3+x^4, 1- 2 x-2 x^2-2 x^3-3 x^4, 2-x^2+x^3-2 x^4, x-x^3+x^4, 3 x^2+6 x^3+3 x^4. Determine uma base beta de W que esteja contida em beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. O problema nos dá um conjunto de polinômios que geram um subespaço dentro de , que é o espaço de todos os polinômios de grau até 4. Nosso objetivo é encontrar uma base para que seja composta por polinômios desse conjunto inicial. Para isso, vamos precisar verificar se os polinômios são linearmente independentes e reduzir o conjunto para uma base mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os polinômios que geram beta = p1(x) &= 1 + 2x + x^2 + 3x^3 + x^4, p2(x) &= 1 - 2x - 2x^2 - 2x^3 - 3x^4, p3(x) &= 2 - x^2 + x^3 - 2x^4, p4(x) &= x - x^3 + x^4, p5(x) &= 3x^2 + 6x^3 + 3x^4 :

Passo 3

Agora, vamos representar cada polinômio como um vetor de p1 &= (1, 2, 1, 3, 1) p2 &= (1, -2, -2, -2, -3) p3 &= (2, 0, -1, 1, -2) p4 &= (0, 1, 0, -1, 1) p5 &= (0, 0, 3, 6, 3) , onde cada componente corresponde ao coeficiente de até :

Passo 4

Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas:
A = 1 & 2 & 1 & 3 & 1 1 & -2 & -2 & -2 & -3 2 & 0 & -1 & 1 & -2 0 & 1 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 3 & 6 & 3
Nosso objetivo é realizar operações de linha para reduzir essa matriz e identificar quais polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Vamos começar pela primeira coluna. Já temos um 1 na posição A = 1 & 2 & 1 & 3 & 1 0 & -4 & -3 & -5 & -4 0 & -4 & -3 & -5 & -4 0 & 1 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 3 & 6 & 3 . Vamos zerar os demais elementos abaixo desse 1:
  • e já têm 0 na primeira posição.
Agora a matriz fica:

Passo 6

Perceba que a segunda e terceira linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante. Vamos eliminar a terceira linha:
A = 1 & 2 & 1 & 3 & 1 0 & -4 & -3 & -5 & -4 0 & 1 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 3 & 6 & 3

Passo 7

Agora, vamos focar na segunda coluna. Temos um -4 na posição A = 1 & 2 & 1 & 3 & 1 0 & -4 & -3 & -5 & -4 0 & 0 & -34 & -94 & 0 0 & 0 & 3 & 6 & 3 . Vamos usar essa entrada para zerar a entrada abaixo:
A matriz atualizada:

Passo 8

Vamos simplificar a terceira e quarta linhas. Multiplicando a terceira linha por A = 1 & 2 & 1 & 3 & 1 0 & -4 & -3 & -5 & -4 0 & 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & -3 & 3 para facilitar:
Agora, a quarta linha:
Matriz atualizada:

Passo 9

Vamos simplificar ainda mais a quarta linha dividindo por A = 1 & 2 & 1 & 3 & 1 0 & -4 & -3 & -5 & -4 0 & 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 :
A matriz fica:

Passo 10

Agora, vamos voltar substituindo para eliminar os termos acima dos pivôs:
  • A quarta linha já tem 1 na coluna 4. Usamos isso para eliminar o 3 na posição A = 1 & 2 & 0 & 0 & 4 0 & -4 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 e o -5 na posição :
  • Agora, a terceira linha já tem 1 na coluna 3. Vamos eliminar o 1 na posição e o -3 na posição :
A matriz atualizada:

Passo 11

Por fim, vamos simplificar a segunda linha dividindo por A = 1 & 2 & 0 & 0 & 4 0 & 1 & 0 & 0 & -14 0 & 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 :
Agora, a matriz final está na forma escalonada reduzida:

Resposta

Com isso, identificamos que os polinômios beta = , 1 + 2x + x^2 + 3x^3 + x^4, 1 - 2x - 2x^2 - 2x^3 - 3x^4, 2 - x^2 + x^3 - 2x^4, x - x^3 + x^4 , , , e são linearmente independentes e formam uma base para . Então, uma base para é:

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